Salut!
j'ai un problème concernant cet exercice,j'espère que vous m'aidez.
Ca c'est l'exercice:
Soit g une application linéaire de R3[X] dans R2 définie par g(P)=(P(-1), P(1)). Déterminer une base de ker (g) et trouver l'image de g.
Ca ce que j'ai fait,
P=aX^3+bX^2+cX+d ∈ ker(g) sssi g(p)=(P(-1),P(1))=(0,0)
J'ai trouvèe que d=-b et c=-a
Par suite, P=aX^3+bX^2-aX-b=a(X^(3)-X)+b(X^(2)-1)
Ker(g)=(A,B) tq A=(X^(3)-X) , B=(X^(2)-1) donc A=XB
est ce que A et B sont libre ou lièe? Si sont libre alors quand on peut dire que deux polynomes sont liée?
merci d'avance
Bonsoir,
La famille {A,B} est évidement libre, car les deux polynômes n'ont pas le même degré.
En effet, pour qu'une combinaison A+B soit identiquement nulle, il faut = 0 pour annuler le terme en X3 de A, d'où immédiatement =0.
Donc tous polynômes n'ont pas le même degré sont libre,même ci on 3 polynôme ou bien plus .
Merci beaucoup pour votre réponce LeHibou
Effectivement, pour le dire correctement, on montre par le même genre de raisonnement qu'une famille finie de polynômes tous de degrés distincts est libre.
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