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Application linéaire

Posté par
hbx360
16-04-19 à 10:27

Bonjour,

j'ai un exercice sur les application linéaire qui est le suivant :

f : R^{2} \rightarrow R^{3} 
 \\      (x,y) \rightarrow (x+y, x-y, 3x)

Montrer que f est une application linéaire à partir de la définition.

Le début de la correction est la suivante :

Soit \vec{u_{1}} = (x_{1}, y_{1}),   \vec{u_{2}} = (x_{2}, y_{2})

J'aurai aimé savoir que représente  \vec{u_{1}} est-ce les coordonnées d'un vecteur dans le plan ou autre chose ?

De plus quand on met f : R^{2} \rightarrow R^{3} est-ce que sa veut dire que l'on part d'un plan 2D pour aller dans un plan 3D ou bien, sa veut juste dire qu'on à 2 variables dans R et 3 variables dans R ?


Merci.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Application linéaire 16-04-19 à 10:38

Citation :
J'aurai aimé savoir que représente \vec{u_{1}} est-ce les coordonnées d'un vecteur dans le plan ou autre chose ?


oui c'est un élément de R2, un vecteur.

Citation :
De plus quand on met f : R^{2} \rightarrow R^{3} est-ce que sa veut dire que l'on part d'un plan 2D pour aller dans un plan 3D ou bien, sa veut juste dire qu'on à 2 variables dans R et 3 variables dans R ?


oui ça veut dire que l'on part d'un vecteur de R² donc d'un plan (un vecteur comme \vec{u_{1}}) et qu'on lui fait correspondre un vecteur de R3 (donc un élément d'un espace 3D (pas un plan)).
ce vecteur dépend du vecteur de départ évidement et si le vecteur de départ est (x;y)
celui d'arrivé est (x+y,x-y,3x)

Posté par
carpediem
re : Application linéaire 16-04-19 à 13:48

salut

on se fout de l'interprétation géométrique de R^2 ou de R^3 !!!

ce qui importe c'est que ce sont des espaces vectoriels

Citation :
Montrer que f est une application linéaire à partir de la définition.
et quelle est la définition ?

c'est uniquement à cette condition que l'on peut parler (de la catégorie) d'application linéaire entre espaces vectoriels !!!

maintenant on sait depuis le lycée qu'on peut interpréter R^2 et R^3 par le plan et l'espace ... et encore sans confondre espace affine et espace vectoriel !!!

Posté par
hbx360
re : Application linéaire 16-04-19 à 14:48

Ok mais si je fais par exemple :

f : R \rightarrow R
x \rightarrow x²

On est bien dans R donc normalement on est pas dans le plan et pourtant on représente cette fonction dans le plan c'est la ou je ne comprends pas par rapport à ce que j'ai mis plus haut (f : R^{2} \rightarrow R^{3}).

@Glapion par rapport à ce que tu m'as dit plus haut, ne devrait-on pas mettre ceci :

f : R \rightarrow R
x \rightarrow x²

comme cela ?

f : R \rightarrow R^{2}
x \rightarrow x²


@Glapion, merci pour ta réponse.

@ carpediem, pour la définition je sais pas il avait mit comme ça, merci pour ta réponse.

Posté par
carpediem
re : Application linéaire 16-04-19 à 14:57

tu mélanges tout !!

tout d'abord R = R^1 est un espace vectoriel (interprétation graphique : la droite vectorielle !!)

ensuite une fonction est une fonction épictou : elle part d'un ensemble pour aller dans un autre ensemble

et on utilise le plan pour représenter une fonction numérique d'une variable réelle ben parce que par définition le couple (x, f(x)) correspond à un point dans le plan tout comme le triplet (x, y, f(x, y)) représente un point de l'espace ... tout comme le quadruplet (x, y, z, f(x, y, z)) représente un point de l'espace R^4 ... malheureusement on ne sait pas "voir" dans R^4 (le représenter) ...

Posté par
Glapion Moderateur
re : Application linéaire 16-04-19 à 15:27

Effectivement tu fais une confusion, x² n'est pas un élément de ² mais un élément de .

Posté par
hbx360
re : Application linéaire 16-04-19 à 15:56

Ok je vois

Merci pour votre aide.

Posté par
carpediem
re : Application linéaire 16-04-19 à 17:36

de rien

Posté par
hbx360
re : Application linéaire 17-04-19 à 13:43

J'ai une autre question quel est la différence entre :

 \vec{u_{1}} = (x_{1}, y_{1})  et

\vec{u_{1}} (x_{1}, y_{1})  ?

Est-ce que ces deux écritures sont identique ?

J'ai aussi cherché sur le net pourquoi on dit qu'un système linéaire est linéaire mais je n'a rien trouvé la dessus, on aurait pu donné un autre nom comme système algébrique un truc du genre.

Posté par
carpediem
re : Application linéaire 17-04-19 à 14:10

aucune ... mais s'adapte au contexte ...

on écrira plutôt :

posons u = (x, y) (c'est une définition, une notation)

mais dans une prhase on écrira plutôt : le vecteur u(x, y) est ... blablabla ...

un système ou une équation ou une égalité est dite "linéaire" lorsque l'expression est une combinaison linéaire des variables

3x + 2y est une combinaison linéaire de x et y (ou de 2 et 3)

mais 3x^2 + 2y n'est plus une combinaison linéaire de x et y

... faire le lien avec les fonctions affines et linéaires ...

Posté par
hbx360
re : Application linéaire 17-04-19 à 22:50

Ok merci pour la réponse.

Posté par
carpediem
re : Application linéaire 17-04-19 à 22:59

de rien

Posté par
hbx360
re : Application linéaire 19-04-19 à 18:29

Une autre question :

quand on a par exemple :

  f : R² \rightarrow R²
       (x, y) \rightarrow (x+y, x-y)

peut-on faire une représentation graphique d'une tel fonction, qu'est-ce que cela donne.

Posté par
carpediem
re : Application linéaire 19-04-19 à 18:38

l'image du point M(x, y) est le point N(x + y, x - y)

ça correspond à une transformation du plan ...

Posté par
hbx360
re : Application linéaire 22-04-19 à 18:24

Merci.

Posté par
carpediem
re : Application linéaire 22-04-19 à 20:02

de rien

Posté par
lafol Moderateur
re : Application linéaire 17-05-19 à 00:25

Bonjour

hbx360 @ 17-04-2019 à 13:43

J'ai une autre question quel est la différence entre :

 \vec{u_{1}} = (x_{1}, y_{1}) et

\vec{u_{1}} (x_{1}, y_{1}) ?

Est-ce que ces deux écritures sont identique ?



non, elles ne sont pas identiques
la première suppose que le vecteur appartient à un produit cartésien, avec x_1 dans le premier ensemble du produit et y_1 dans le deuxième ensemble du produit. u_1 EST le couple (x_1, y_1)
la seconde peut être écrite dans n'importe quel espace de dimension 2 dont on a choisi une base, et indique que u_1 a pour coordonnées dans cette base x_1 et y_1
u_1 n'a peut-être rien d'un couple, ça peut être un polynôme de degré inférieur ou égal à 1, une suite qui vérifie une certaine relation de récurrence linéaire, une fonction qui vérifie une certaine équation différentielle linéaire d'ordre 2, etc etc

Posté par
hbx360
re : Application linéaire 17-05-19 à 14:18

Cool merci pour ta réponse.



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