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application linéaire

Posté par
termina123 30-07-20 à 00:13

Bonjour à tous
Voici mon exercice je suis pas sûr :
On pose E=\mathbb{R}^{3} et on note \mathcal{B} = (e_{1}, e_{2},e_{3}) sa base canonique, a est un réel.
1)Justifier l'existence d'un endomorphisme f_{a}\in\mathcal{L}(E) tq fa(e1)=(a-1)e1+e2-e3, fa(e2)=e1+e3 et fa(e3)=e1-e2+(a+1)e3
2)\mathcal{M}_\mathcal{B}(f_{a})=?
3)base de ker(fa)?
4)Base de Im(fa)?
5) Mq (x,y,z)Im(fa)x-ya-z=0

1)Soit u de coordonnées (x,y,z) dans la base B:
fa(u)=e1((a-1)x+z+y)+e2(x-z)+e3(-x+y+(a+1)z)
fa:EE donc l'existence est montrée
2)\mathcal{M}_\mathcal{B}(f_{a})=\begin{pmatrix} a-1 & 1&1 \\ 1&0 &-1 \\ -1& 1& a+1 \end{pmatrix}
3)ker(fa)=vect((1,-a,1))
4)Im(fa)=vect(fa(e1),fa(e3))
5)Au début j'ai :
u de coord (x,y,z) dans la base (fa(e1),fa(e3))Im(fa)p,q tq u=p*fa(e1)+q*fa(e3)
\exists p,q \in \mathb{R}, \begin{cases} &(a-1)p+q=x\\ & qa=x-y(a-1)\\ & qa^{2}=z(a-1)+x \end{cases}
\exists p,q \in \mathb{R}, \begin{cases} &(a-1)p+q=x\\ & a(x-z-ya)=x-z-ya \end{cases}
\exists p,q \in \mathb{R}, \begin{cases} &(a-1)p+q=x\\ & (a-1)(x-z-ya)=0\\ &x-ya-z=0 \end{cases}

Je suis pas sur si c'est bon à la fin

Posté par
Sylvieg Moderateurre : application linéaire 30-07-20 à 07:39

Bonjour,
Quel est le statut de a, réel, réel non nul ?
Si a est nul, les vecteurs que tu as écrit pour 4), sont opposés. Pas top pour une base...
Par ailleurs, répondre avec du " vect " est un peu hors sujet quand on demande une base.
Répondre par " une base de ... est ... " ; en tous cas une phrase avec le mot " base ".

Posté par
Sylvieg Moderateurre : application linéaire 30-07-20 à 07:49

Pour 5), une équivalence est demandée.
Un sens facile : Si (x,y,z) est dans Im(fa) \; alors \; x-ya-z=0 .
Pour la réciproque, utiliser la base trouvée en 4).

Posté par
Sylvieg Moderateurre : application linéaire 30-07-20 à 07:54

Je ne comprends pas ton 1er système écrit pour 5).

Posté par
Sylvieg Moderateurre : application linéaire 30-07-20 à 11:13

Avec un peu plus de recul :
La dimension de Im(fa) est déterminée dans la question 4).
A utiliser dans la question 5).

Rappel : il faut trouver autre chose pour la réponse de 4).

Posté par
termina123re : application linéaire 30-07-20 à 19:29

Bonjour
4) Une base de Im(fa) est (fa(e1),fa(e2))=((a-1)e1+e2-e3,e1+e3)
5)Soit u de coordonnées (x,y,z) dans la base B (x,y,z)Im(fa),,\begin{cases} &(a-1)\lambda +\mu=x\\ &\lambda=y\\ & -\lambda +\mu =z \end{cases}
x-ya-z=0
Soit u de coordonnées (x,y,z) dans la base B, x-ya-z=0x=ya+z
\begin{cases} &x=ya+z\\ & y=y \\ & z=z \end{cases}
uvect(a*e1+e2,e1+e3)
or ae1+e2 est combinaison linéaire de fa(e1) et fa(e2)
u vect(fa(e1),fa(e2))
uIm(fa)
D'ou (x,y,z)Im(fa)x-ya-z=0

Posté par
Sylvieg Moderateurre : application linéaire 30-07-20 à 21:56

Soit P l'ensemble des triplets (x,y,z) de 3 qui vérifient x-ya-z=0.
Une fois démontré Im(fa) inclus dans P, il suffit d'utiliser cette propriété :
Deux SEV de même dimension inclus l'un dans l'autre sont égaux.

Posté par
mousse42re : application linéaire 30-07-20 à 22:35

Bonsoir,
Si tu as vu la dualité, on peut chercher une base du dual de Im(f) qui est de dimension 1 et on a :

$Im$(f)=\{v\in \R^3, \phi(v)=0\}

avec F^{\perp\,\text{dual}}=$vect$(\phi)

Posté par
termina123re : application linéaire 30-07-20 à 22:42

Soit P={(x,y,z)3|x-ya-z=0}
P=vect((a,1,0),(1,0,1))
Soit u(x,y,z), uP,, u=(a,1,0)+(1,0,1)
,, u=((a-1,1,-1)+(1,0,1))+(1,0,1)
,, u=(a-1,1,-1)+(+)(1,0,1)
uvect((a-1,1,-1),(1,0,1))
uIm(fa)
D'ou PIm(fa) et dim(P)=dim(Im(fa)) donc P=Im(fa) et (x,y,z)Im(fa)x-ya-z=0

Posté par
termina123re : application linéaire 30-07-20 à 22:45

Salut mousse42 je n'ai pas vu la dualité, c'est pas dans le programme

Posté par
carpediemre : application linéaire 31-07-20 à 14:04

salut

je note (i, j, k) "la" base canonique ...

1/ tu n'as rien montré ... (ce que tu as fait est la réponse à la question 2)

pour montrer que f est un endomorphisme il faut montrer que :

a/ f part de R3 (évident) et arrive dans R3 (tout autant mais dire tout de même quelque chose)   (pour la partie "endo")
b/ pour tout vecteurs u et v et tous scalaires p et q : f(pu + qv) = pf(u) + qf(v)   (pour la partie "morphisme")


PS : ce qui est équivalent à montrer que pour tous scalaires x, y et z : f(xi + yj + zk) = xf(i) + yf(j) + zf(k) puisque (i, j, k) est une base) ...

... et je suis curieux de savoir ce que demande/veut l'auteur du sujet car c'est quasiment la définition (f préserve les combinaisons linéaires ... par construction/définition de f)

Posté par
lafol Moderateurre : application linéaire 31-07-20 à 16:07

Bonjour
j'imagine que l'auteur s'attend à ce qu'on lui ressorte l'argument selon lequel une application linéaire est entièrement déterminée par la connaissance des images des vecteurs d'une base, non ? et il ne reste que le côté "endo" à justifier

Posté par
carpediemre : application linéaire 31-07-20 à 16:30

oui c'est ce que je pensais aussi ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : application linéaire 31-07-20 à 18:21

Bonsoir,
Je ne voyais pas non plus très bien ce qui pouvait être attendu en 1)

@termina123,
Dans 4), pourquoi choisir de démontrer P Im(fa) alors que Im(fa) P est plus rapide ?

Posté par
termina123re : application linéaire 01-08-20 à 03:44

Bonsoir
@Sylvieg je ne sais pas, j'ai aussi démontré après au brouillon que Im(fa)P

@carpediem
E=3, B=(i,j,k) la base canonique de 3 et f une application de E dans F tq f(i)=(a-1)i+j-k, f(j)=i-k et f(k)=i-j+(a+1)k
Soit (u,v,)E2K, u=xi+yj+zk et v=(pi+qj+rk)
u+v=(x+p)i+(y+q)j+(z+r)k
f(u+v)=f((x+p)i+(y+q)j+(z+r)k)
Je trouve pas pourquoi f((x+p)i+(y+q)j+(z+r)k)=(x+p)f(i)+(y+q)f(j)+(z+r)f(k)

Posté par
carpediemre : application linéaire 01-08-20 à 12:04

c'est pourquoi je ne comprends pas trop la question : il faut admettre que f est une application linéaire ... pour montrer que f est une application linéaire !!!

la partie "endo" se montre facilement : il suffit de le dire quasiment ...

donc si c'est l'existence ben c'est pareil je ne vois pas trop ce qu'il faut dire à part l'argument de lafol qui est vrai pour tout a ...


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