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Application linéaire complexe

Posté par
MacroHell
25-03-18 à 04:13

Bonjour à tous,

Je bloque complétement sur un exercice abstrait que je ne sais pas comment aborder.

Montrer que que pour toute application linéaire f : C \rightarrow C
il existe x, y\rightarrow \in C tel que pour tout z \rightarrow \in \in C : f(z) = x z + y \bar{z}. (indication : Utilisez l'égalité f(a+ib)= a f(1)+b f(i))

Merci pour l'aide.

Posté par
MacroHell
re : Application linéaire complexe 25-03-18 à 04:16

Je cite le message pour le corriger :

MacroHell @ 25-03-2018 à 04:13

Bonjour à tous,

Je bloque complétement sur un exercice abstrait que je ne sais pas comment aborder.

Montrer que que pour toute application linéaire f : C \rightarrow C
il existe x, y\in C tel que pour tout z \in C : f(z) = x z + y \bar{z}. (indication : Utilisez l'égalité f(a+ib)= a f(1)+b f(i))

Merci pour l'aide.

Posté par
SkyMtn
re : Application linéaire complexe 25-03-18 à 05:10

Bonjour, si f est linéaire on a directement f(z)=zf(1) :/

Autrement on peut écrire f(z) = xz+y\overline{z} avec x=\frac{1}{2}(f(1)-if(i)) et y = \frac{1}{2}(f(1)+if(i)) comme l'indication invite à décomposer en f(1) et f(i)... mais cela semble bizarre :/

Posté par
larrech
re : Application linéaire complexe 25-03-18 à 08:21

Bonjour,

Si z=a+ib, il existe une relation simple entre  a (respectivement b) ,  z  et  \bar{z}

Posté par
luzak
re : Application linéaire complexe 25-03-18 à 09:27

Bonjour !
Comme indiqué par SkyMtn une condition nécessaire est x=\dfrac{f(1)-if(i)}2,\;y=\dfrac{f(1)+if(i)}2 et il est alors facile de vérifier que
(a,b)\in\R^2\implies af(1)+b f(i)=x(a+ib)+y(a-ib).

Mais la relation "bizarre" f(a+ib)=af(1)+bf(i) suppose en fait que f est \R-linéaire : énoncé à revoir!!!

Posté par
MacroHell
re : Application linéaire complexe 25-03-18 à 20:41

SkyMtn @ 25-03-2018 à 05:10

Bonjour, si f est linéaire on a directement f(z)=zf(1) :/

Autrement on peut écrire f(z) = xz+y\overline{z} avec x=\frac{1}{2}(f(1)-if(i)) et y = \frac{1}{2}(f(1)+if(i)) comme l'indication invite à décomposer en f(1) et f(i)... mais cela semble bizarre :/


Pouvez vous m'expliquer comment vous trouvez x et y svp ?

Posté par
MacroHell
re : Application linéaire complexe 26-03-18 à 03:28

up

Posté par
luzak
re : Application linéaire complexe 26-03-18 à 09:32

Citation :

Pouvez vous m'expliquer comment vous trouvez x et y svp ?


Il suffit de savoir lire les réponses :
Citation :

Comme indiqué par SkyMtn une condition nécessaire est ...

Posté par
jsvdb
re : Application linéaire complexe 26-03-18 à 09:59

Bonjour,
je me permets juste demander pourquoi la relation f(a+ib) = f(a) + if(b) "semble bizarre" !?
Si f est \C-linéaire, alors effectivement pour tout z et z' complexes et a,b complexes, on a f(az+bz') = af(z) + bf(z') par définition et donc f est de la forme z\mapsto \alpha.z pour un certain \alpha \in \C
Qu'est-ce-qui empêche de prendre a,b \in \R (vu comme complexes), z = 1 + 0i \text{ et } z' = 0+i ?

f(a+ib) = \alpha(a+ib) = \alpha.a + i\alpha.b = f(a) + i f(b)

Posté par
luzak
re : Application linéaire complexe 26-03-18 à 14:32

Bonjour jsvdb !
Cela semble bizarre car si f est \C-linéaire il y a beaucoup de solutions puisque f(z)=zf(1)=f(1)z+0\bar z=-if(i)z.
Il est vrai que l'énoncé ne dit pas : "trouver un unique (x,y) tel que ..." mais quel est alors l'intérêt ?

Posté par
jsvdb
re : Application linéaire complexe 26-03-18 à 15:10

Bonjour luzak
Effectivement, si c'est \R-linéaire, alors la décomposition est unique.
Je suppose qu'on doit être en analyse complexe avec les opérateurs d/dz et d/d\bar z donc pourquoi ce serati \R-linéaire ?
Enfin bref ! je sais pas ... comme tu dis énoncé à préciser, et surtout, dans quel cadre exactement.

Posté par
interpol
re : Application linéaire complexe 28-03-18 à 12:55

Bonjour,

Il nous faut donc montrer que pour \forall (x,y) \in C^2  \exists z | f(az+b)=af(z)+b  , (a,b)\in C^2  ,f(z)=xz+y\bar z

et déterminer z ,

Alain

Posté par
luzak
re : Application linéaire complexe 28-03-18 à 17:31

Bonsoir !
Je ne comprends plus rien !
Peux-tu donner quelques explications ?

Posté par
carpediem
re : Application linéaire complexe 28-03-18 à 18:11

salut

je ne comprends pas l'exercice ...

si f est C-linéaire alors il existe un complexe a tel que f(z) = az ... et même a= f(1)

mais bon on a tout simplement : pour tout complexe z : f(z) = az + 0z*

...

Posté par
etniopal
re : Application linéaire complexe 28-03-18 à 18:12

Pour tout  (u , v) ²  l'application fu,v) : z uz + vz* est -linéaire  de vers .
De plus  fu,v) (1) = u + v et  fu,v) (i) = i(u - v) .
Inversement , si  g:   est -linéaire  et si u et v vérifient  u + v = g(1) et i(u - v) = g(i)  ( calcul des plus simples )  on a g =  fu,v)  ( puisque (1 , i)  est une -base de ) .

Posté par
carpediem
re : Application linéaire complexe 28-03-18 à 18:22

est-il dit dans l'énoncé que f est R-linéaire ?

Posté par
etniopal
re : Application linéaire complexe 28-03-18 à 18:44

Je t'ai laissé le soin de fulminer  au sujet de ce que tu appelles souvent " un énoncé de m ... "

Posté par
interpol
re : Application linéaire complexe 29-03-18 à 11:11

Bonjour,


Nous pouvons  montrer que x,y,z \in C    la fonction C ->C f(z)=xz+y\bar z

vérifie:a,b \in C ,f(az+b)=af(z)+(x+y)b


Alain

Posté par
lafol Moderateur
re : Application linéaire complexe 29-03-18 à 23:57

Bonjour
On parie combien que le posteur initial n'a pas jugé utile de recopier la première ligne de son énoncé, ou le chapeau de sa série d'exercices, qui disait "dans tout l'exercice/dans tous les exercices , on se place dans le IR-espace vectoriel \C "?

Posté par
interpol
re : Application linéaire complexe 30-03-18 à 09:15

Bonjour,

Sans m'inquiéter du posteur initial, je m'intéressais aux propriétés de la dite fonction.

A quel type de fonction correspond la relation donnée :f(z)=xz+y\bar z ?

Merci,

Alain

Posté par
ThierryPoma
re : Application linéaire complexe 30-03-18 à 09:56

Bonjour,

De mon boulot et très rapidement : L'on suppose dans toute la suite que f est \R-linéaire. Partant, pour tous u, v\in\C et tout a\in\R, l'on a f(u+a\,v)=f(u)+a\,f(v). Soit alors z=a+i\,b\in\C arbitrairement choisi. Par \R-linéarité de f, l'on a

f(z)=a\,f(1)+b\,f(i)

avec f(1)\in\C et f(i)\in\C. Or, comme \overline{z}=a-i\,b, il vient immédiatement que

a=\dfrac{z+\overline{z}}{2}\mbox{ et }b=\dfrac{z-\overline{z}}{2\,i}=\dfrac{i\,\left(\overline{z}-z\right)}{2}

de sorte que

f(z)=a\,f(1)+b\,f(i)=\left(\dfrac{z+\overline{z}}{2}\right)\,f(1)+\left(\dfrac{i\,\left(\overline{z}-z\right)}{2}\right)\,f(i)=\left(\dfrac{f(1)-i\,f(i)}{2}\right)\,z+\left(\dfrac{f(1)+i\,f(i)}{2}\right)\,\overline{z}\qquad(\star)

avec

(x,\,y)=\left(\dfrac{f(1)-i\,f(i)}{2},\,\dfrac{f(1)+i\,f(i)}{2}\right)\in\C\times\C

comme attendu.

Moralité : Toute fonction \R-linéaire f:\C\to\C est nécessairement de la forme (\star) ci-dessus.

Posté par
ThierryPoma
re : Application linéaire complexe 30-03-18 à 10:06

Petit exercice supplémentaire : L'on suppose cette fois que f est \C-linéaire (ce qui entraîne du coup qu'elle est nécessairement \R-linéaire). Il est alors clair que

f(z)=a\,f(1)+b\,f(i)=\left(\dfrac{f(1)-i\,f(i)}{2}\right)\,z+\left(\dfrac{f(1)+i\,f(i)}{2}\right)\,\overline{z}\qquad(\star)

pour tout z\in\C. Que peut-on alors en conclure ?

Posté par
etniopal
re : Application linéaire complexe 30-03-18 à 10:20

Il doit y avoir plus compliqué !

Posté par
ThierryPoma
re : Application linéaire complexe 30-03-18 à 10:43

@etniopal : C'est tout ce que tu trouves à dire ?

Posté par
jsvdb
re : Application linéaire complexe 30-03-18 à 10:55

Bonjour ThierryPoma.
Ça au moins c'est clair et rigoureux, ça me plaît

Réponse à l'exercice supplémentaire :

f étant \C-linéaire on a f(1) + if(i) = f(1) + f(-1) = f(1) - f(1) = 0 et on a f(1) - if(i) = f(1) - f(-1) = 2f(1).

D'où la forme attendue et bien connue f(z) = z.f(1)

Posté par
etniopal
re : Application linéaire complexe 30-03-18 à 14:41

On peut aussi dire que est un -ev de  dimension 2 donc l'ensemble E formé de ses -endomorphismes est un  -ev  de  dimension  4
u : z z , v : z iz , w : z  \bar{z} , h :   i \bar{z}   sont 4 éléments de E qui forment une famille libre donc génératrice
Pour tout f de E il existe donc un seul (a , b , c , d) 4 donc  tel que f = a.u + b.v + c.w + d.h   ce qui signifie que  pour tout z de on a : f(z) = az + biz + c  \bar{z} + di  \bar{z} = (a + ib)z + (c + id)  \bar{z}   = A.z + B.  \bar{z}    .

Posté par
carpediem
re : Application linéaire complexe 31-03-18 à 00:19

si on suppose le pb résolu alors il est résolu donc il est résolu ...

et on retourne se boire une binouze  ... ce qui est autrement plus agréable que de se prendre la tête sur un énoncé de merde ...

etniopal @ 28-03-2018 à 18:44

Je t'ai laissé le soin de fulminer  au sujet de ce que tu appelles souvent " un énoncé de m ... "
je ne fulmine, je constate et tout le reste n'est que masturbation intellectuelle ... qui peut ne pas être inintéressante en soi ...quand elle est faite par le posteur lui-même

et quand on voit que la seule intervention/réaction du posteur est  
MacroHell @ 26-03-2018 à 03:28

up
... continuons à nous faire plaisir ...

PS : bien sur tout ce que je raconte n'est qu'un tissu de con ... comme j'en ai l'habitude  



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