Bonjour à tous,
Je bloque complétement sur un exercice abstrait que je ne sais pas comment aborder.
Montrer que que pour toute application linéaire f : C C
il existe x, y C tel que pour tout z C : f(z) = x z + y . (indication : Utilisez l'égalité f(a+ib)= a f(1)+b f(i))
Merci pour l'aide.
Je cite le message pour le corriger :
Bonjour, si f est linéaire on a directement :/
Autrement on peut écrire avec et comme l'indication invite à décomposer en f(1) et f(i)... mais cela semble bizarre :/
Bonjour !
Comme indiqué par SkyMtn une condition nécessaire est et il est alors facile de vérifier que
.
Mais la relation "bizarre" suppose en fait que est linéaire : énoncé à revoir!!!
Bonjour,
je me permets juste demander pourquoi la relation "semble bizarre" !?
Si f est -linéaire, alors effectivement pour tout z et z' complexes et a,b complexes, on a par définition et donc f est de la forme pour un certain
Qu'est-ce-qui empêche de prendre (vu comme complexes), ?
Bonjour jsvdb !
Cela semble bizarre car si est linéaire il y a beaucoup de solutions puisque .
Il est vrai que l'énoncé ne dit pas : "trouver un unique tel que ..." mais quel est alors l'intérêt ?
Bonjour luzak
Effectivement, si c'est -linéaire, alors la décomposition est unique.
Je suppose qu'on doit être en analyse complexe avec les opérateurs et donc pourquoi ce serati -linéaire ?
Enfin bref ! je sais pas ... comme tu dis énoncé à préciser, et surtout, dans quel cadre exactement.
salut
je ne comprends pas l'exercice ...
si f est C-linéaire alors il existe un complexe a tel que f(z) = az ... et même a= f(1)
mais bon on a tout simplement : pour tout complexe z : f(z) = az + 0z*
...
Pour tout (u , v) ² l'application fu,v) : z uz + vz* est -linéaire de vers .
De plus fu,v) (1) = u + v et fu,v) (i) = i(u - v) .
Inversement , si g: est -linéaire et si u et v vérifient u + v = g(1) et i(u - v) = g(i) ( calcul des plus simples ) on a g = fu,v) ( puisque (1 , i) est une -base de ) .
Bonjour
On parie combien que le posteur initial n'a pas jugé utile de recopier la première ligne de son énoncé, ou le chapeau de sa série d'exercices, qui disait "dans tout l'exercice/dans tous les exercices , on se place dans le IR-espace vectoriel "?
Bonjour,
Sans m'inquiéter du posteur initial, je m'intéressais aux propriétés de la dite fonction.
A quel type de fonction correspond la relation donnée : ?
Merci,
Alain
Bonjour,
De mon boulot et très rapidement : L'on suppose dans toute la suite que est -linéaire. Partant, pour tous , et tout , l'on a . Soit alors arbitrairement choisi. Par -linéarité de , l'on a
avec et . Or, comme , il vient immédiatement que
de sorte que
avec
comme attendu.
Moralité : Toute fonction -linéaire est nécessairement de la forme ci-dessus.
Petit exercice supplémentaire : L'on suppose cette fois que est -linéaire (ce qui entraîne du coup qu'elle est nécessairement -linéaire). Il est alors clair que
pour tout . Que peut-on alors en conclure ?
Bonjour ThierryPoma.
Ça au moins c'est clair et rigoureux, ça me plaît
Réponse à l'exercice supplémentaire :
f étant -linéaire on a et on a
D'où la forme attendue et bien connue
On peut aussi dire que est un -ev de dimension 2 donc l'ensemble E formé de ses -endomorphismes est un -ev de dimension 4
u : z z , v : z iz , w : z , h : i sont 4 éléments de E qui forment une famille libre donc génératrice
Pour tout f de E il existe donc un seul (a , b , c , d) 4 donc tel que f = a.u + b.v + c.w + d.h ce qui signifie que pour tout z de on a : f(z) = az + biz + c + di = (a + ib)z + (c + id) = A.z + B. .
si on suppose le pb résolu alors il est résolu donc il est résolu ...
et on retourne se boire une binouze ... ce qui est autrement plus agréable que de se prendre la tête sur un énoncé de merde ...
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