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application linéaire et restriction bizzare
Bonjour tout le monde,
J'ai du mal dans cet exercice:
soit u l'endomorphisme de IR^3 de matrice
A= (
2 -1 -1
-1 2 -1
-1 -1 2 )
a) Déterminer ker u et im u
J'ai trouvé keru= vect (1,1,1)
et Im u= Vect( ( 2,-1,-1),(-1,2,-1) )
b) Montrer que IR^3= keru+ Imu (somme directe)
Ok c'est fait
En déduire que la restriction v de u à son image v: Im u--> Im u, est une application bijective.
Je galère. J'ai essayé de montrer que kerv={0} ou que Imv= Imu pour montrer que mon application est injective ou surjective et donc bijective, mais je n'arrive à faire ni l'un ni l'autre. Je m'y perds franchement.
ker v = ker u inter im u = {0} puisque ker u + im u est directe donc v est injective
pour avoir im v = im u tu montres que im im u = imu en utilisant ker u inter im u = {0} donc im v = im u est v surjective, le tour est joué 
(je te laisse le soin de voir les détails, rappelle en cas de pb) !
Bonsoir,
par définition Ker(v) c'est les x tels que v(x)=0 et qui sont dans l'espace de départ soit Im(u) donc
Ker(v)=Im(u) inter Ker(u) = {0} puisque tu as montré la somme directe. Reste à voir que Im(v)=Im(u) ce qui est évident : tout z de E s'écrit z= n +i avec n dans le noyau de u et i dans l'image donc u(z)=u(n)+u(i)=u(i)=v(i) . tout élément de la forme u(z) est un v(i) donc Im(u)=Im(v)
lolo
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