Bonjour à tous !
J'ai du mal avec un exercice portant sur les applications linéaires dont voici l'énoncé:
salut
si F et G sont supplémentaires dans E alors pour tout v de E v = g + f et cette décomposition est unique
alors l'applcation p : x --> g vérifie p o p = p donc p est un projecteur ...
réciproque
v = (v - p(v)) + p(v)
montre que v - p(v) et p(v) appartiennent respectivement à Ker(p) et à Im(p) puis que cette somme est directe ...
1) soit xE
(a,b)FxG tel que x=a+b
p(x)=p(a+b)=p(a)=a
pop(x)=pop(a+b)=pop(a)+pop(b)=p(a)+p(O)=p(a)=a
De souvenir mais ça date...
Bonjour,
1) p est un endomorphisme de E: c'est l'endomorphisme qui à un point x de E associe la projection sur G de ce point parallèlement à F. En fait, si tu écris x=x1+x2 où x1F et x2G(ce qui est possible car F et G sont supplémentaires dans E), tu auras p(x)=x2
Si on décompose de nouveau x2 en une somme d'éléments de F et G: x2=x3+x4 où x3F et x4G, tu auras x4=x2 et x3=0 car F et G sont en somme direct, la décomposition de x2 en somme d'éléments de F et G est donc unique.
On a donc:
p2(x)=p(p(x))=p(x2)=x2=p(x)
Donc p est un projecteur
2)Essaie plutôt de démontrer que Ker(p)Im(p)={0}, ce qui montre avec l'égalité des dimensions que Ker(p) et Im(p) sont supplémentaires dans E
3) Non, il ne faut pas passer par les matrices de passages pour répondre à cette question. Essaie plutôt de montrer que si x=x1+x2 où x1F et x2G, alors p(x)=x2, ce qui te donne immédiatement le résultat
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