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Application lipschitzienne de R² dans R²
Bonjour,
cela fait 3 jours que je suis sur la question suivante, alors je viens ici à la recherche de nouvelles pistes.
Je dois trouver pour quelle valeurs de a, la fonction F(x,y) = (x+ a|x-y|, y + a|x-y|) est lipschitzienne.
Je trouve des valeurs très compliquées et qui dépendent à la fois de (x,y) et de (x',y'), ce qui ne me satisfait pas.
D'autre part, je me demande aussi si on peut utiliser la norme infinie pour déterminer ces a.
Merci à ceux qui pourront m'aider.
Si z = (x,y) on a : F(z)= z + a|x - y|.u pù u = (1,1)
Soient N une norme sur E := 
² et z , z ' dans E . On a :
F(z) - F(z') = (z - z') + a(|x-y| - |x'-y'|).u donc N(F(z) - F(z')) 
N (z - z') + a(│|x-y| - |x'-y'|│).N(u) .
En utilisant le fait que │ |u| - |v|│ │u - v│pour tout (u,v) de 
² on a
│|x-y| - |x'-y'|│ │(x-y) - (x'-y')│ |x - x'| + |y - y'|
Il s'agit alors de relier |x - x'| + |y - y'| , qui n'est autre que N1(z - z') à N(z - z ') pour avoir une majoration du type N(f(z) - f(z ')) c.N(z - z ') où c ne dépend pas de z ni de z ' .
Tu trouveras alors des a pour lesquels F est N-lipschitzienne.
Bonjour, lilith30.
On commence par choisir une norme adaptée au problème, par exemple: .
Ensuite, pour tout de
, pour tout
de
:
En utilisant l'inégalité triangulaire:
Maintenant, nous savons que, pour tout de
, pour tout
de
:
Donc
Au final, on obtient:
Merci à tous les deux.
J'ai compris vos réponses, ce qui m'interroge encore c'est la manière donc vous "sauter" d'une norme à l'autre, par exemple de la valeur absolue à la norme euclidienne.
A-t-on le droit parce que les normes sont équivalentes?
Etniopal, est-ce ce que tu appelles relier N_1 à N?
Dans ce cas, même si cela n'a pas d'intérêt ici, aurait-on pu utiliser la norme infinie pour prouver que la fonction est lipschitzienne?
Merci d'avance pour vos éclairages.
J'ai compris vos réponses, ce qui m'interroge encore c'est la manière donc vous "sauter" d'une norme à l'autre, par exemple de la valeur absolue à la norme euclidienne.
A-t-on le droit parce que les normes sont équivalentes?
Sur un espace vectoriel normé de dimension finie (ici
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