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Niveau maths sup
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Application non injective

Posté par
Ramanujan
11-06-19 à 22:54

Bonsoir,

Soit A  \in \mathcal{P} (E) et u_A : \mathcal{P} (E) \longrightarrow \mathcal{P} (E) \\ X \mapsto X \bigcap A

Montrer que si A \ne E, alors l'application u_A n'est pas injective.

J'aimerais utiliser la définition mais je bloque. u_A n'est pas injective si et seulement si :

\exists X_1 \in \mathcal{P} (E) \ \exists X_2 \in \mathcal{P} (E) \ u_A(X_1)=u_A(X_2) \implies X_1 = X_2

Posté par
Jezebeth
re : Application non injective 11-06-19 à 22:57

Bonsoir

Tu écris mal la définition justement.
On veut deux parties distinctes qui ont la même image.

Posté par
lafol Moderateur
re : Application non injective 11-06-19 à 22:58

Bonsoir
non, ce n'est pas ça, la négation de "u_A est injective" !

c'est tuant cette manière que tu as d'oublier un chapitre quand tu commences le suivant !
la négation de p implique q, c'est quoi ?

Posté par
Ramanujan
re : Application non injective 11-06-19 à 23:08

Oui grosse erreur de ma part, je corrige :

u_A est non injective si et seulement si :

\exists X_1 \in \mathcal{P} (E) \ \exists X_2 \in \mathcal{P} (E) \ ( \ u_A(X_1)=u_A(X_2) \ \text{ET}  X_1 \ne X_2 )

Posté par
lionel52
re : Application non injective 11-06-19 à 23:19

Fais  un dessin pour resoudre le problème. Ca va tsauter aux yeux.

Posté par
lafol Moderateur
re : Application non injective 11-06-19 à 23:22

sans oublier de bien mettre en évidence l'hypothèse A inclus strictement dans E

Posté par
Ramanujan
re : Application non injective 11-06-19 à 23:36

J'y arrive sur un exemple simple mais dans le cas général bof.

Si on prend E= \{1,2,3\} en représentant le diagramme sagittal, on voit que en prenant A=\{1 \} \in E  une partie de E et X_1 = \{1 \} et X_2 = \{1,2 \} des parties de E alors :

u_A(X_1) = \{1 \} et u_A(X_2)= \{1 \}

On a u_A (X_1) = u_A(X_2) et X_1 \ne X_2

Posté par
jsvdb
re : Application non injective 11-06-19 à 23:41

Bah dans le cas général, il suffit de raisonner, et le tapis se déroule tout seul.

Tu commences par supposer que A \neq E et donc il existe x \in E, x\notin A.

Tu considères alors X = A et X = A \cup \{x\}

Posté par
Ramanujan
re : Application non injective 11-06-19 à 23:53

Merci jsvdb !

X_1 = A et X_2 = A \cup \{x \} avec x \notin A

Juste un détail : comment montrer que X_1 \ne X_2 ?

Calculons u_A(X_1) : u_A(X_1)=A \cap A = A

Calculons u_A(X_2) : u_A(X_2)=(A \cup \{x \} ) \cap A

Par distributivité de l'intersection : u_A(X_2) = (A \cap A) \cup (\{x\} \cap A) = A \cup \emptyset = A

On a : u_A(X_1)=u_A(X_2)=A et X_1 \ne X_2

Posté par
lafol Moderateur
re : Application non injective 12-06-19 à 00:00

Ramanujan @ 11-06-2019 à 23:53


X_1 = A et X_2 = A \cup \{x \} avec x \notin A

Juste un détail : comment montrer que X_1 \ne X_2 ?


tu réfléchis, parfois ?

Posté par
FLEURISTIN
re : Application non injective 12-06-19 à 00:03

jsvdb @ 11-06-2019 à 23:41

Bah dans le cas général, il suffit de raisonner, et le tapis se déroule tout seul.

Tu commences par supposer que A \neq E et donc il existe x \in E, x\notin A.

Tu considères alors X = A et X = A \cup \{x\}


Posté par
FLEURISTIN
re : Application non injective 12-06-19 à 00:04

Edit : je voulais réagir au message de lafol pas à celui que je montre.

Posté par
Ramanujan
re : Application non injective 12-06-19 à 00:05

Oui mais je ne suis pas habitué à manipuler les ensembles pour ça que je pose des questions triviales. Comment montrer que X_1 \ne X_2 ?

Sinon, une autre méthode à laquelle j'ai pensé :

u_A(A)= A \cap A =A et u_A (E) = A  \cap E= A car A \subset E

J'ai u_A(A)=u_A(E) avec A \ne E

Posté par
Jezebeth
re : Application non injective 12-06-19 à 00:08

Si X1 et X2 étaient égaux, x serait dans A enfin bon dieu c'est absolument évident ! fais des dessins tu verras que ça te changera la vie, quand on traite des exos ensemblistes tout le monde sait qu'il faut faire des patates au début pour y voir clair.

Sinon ta méthode est correcte.

Posté par
lafol Moderateur
re : Application non injective 12-06-19 à 00:10

Tu réalises que ça a été au programme de sixième, de savoir que si x n'est pas dans A, alors A et A union {x} sont deux ensembles différents ? Si on a pu l'apprendre à des gosses de 10-11 ans, tu dois être capable de le comprendre en faisant un tout petit effort de réflexion, non ?
A et B égaux, ça signifie que tout élément de l'un est élément de l'autre
quand tu as écrit x n'appartient pas à A, tu as montré que A et A union {x} étaient différents !

Posté par
Ramanujan
re : Application non injective 12-06-19 à 00:17

Ok merci.

Posté par
Jezebeth
re : Application non injective 12-06-19 à 00:21

Tu peux montrer aussi qu'elle n'est pas non plus surjective (si A est strict toujours). Essaie de tout faire cette fois, de comprendre la définition (au lieu de l'appliquer robotiquement), de cibler ce que tu dois démontrer et de faire un dessin pour illustrer ce que tu en auras compris, et ensuite seulement de rédiger proprement et simplement.

Posté par
Ramanujan
re : Application non injective 12-06-19 à 01:39

Je ne vois pas trop en quoi les dessins peuvent me servir ici, l'exercice est très théorique. Je ne vois pas trop quoi dessiner.

Justement l'exercice suivant est :

Montrer que u_A est surjective si et seulement si A=E

=> Supposons que A=E. Soit X \in P(E). Alors u_A(X)= X \cap E = X car X \subset E
u_A est l'identité de P(E) dans P(E), elle est donc surjective.

Pour la réciproque, j'ai pensé à la contraposée. Soit A \ne E. Montrons que u_A n'est pas surjective.

<= Par définition u_A n'est pas surjective si et seulement si :

\exists Y \in P(E) \ \forall X \in P(E) \ Y \ne u_A(X)

Mais ici je bloque

Posté par
Jezebeth
re : Application non injective 12-06-19 à 01:49

Blague à part : quand j'étais en prépa, j'ai découvert la puissance des dessins et je te promets que c'est devenu mon arme de secours absolue depuis. Les exercices de topologie algébrique les plus théoriques que tu pourras jamais rencontrer se détruisent parfois en cinq minutes grâce à un dessin intelligent.

Ici, tu as A, une partie de E stricte. Tu dessines une patate qui représente E et une patate plus petite à l'intérieur de E, représentant ainsi A. Tu cherches une partie Y telle que pour toute partie X, X inter A ne soit jamais Y. Oh bah tiens, si on prend par exemple une partie "plus grosse" que A, ça marche super bien. Voilà. Exercice plié avec des patates. Le reste n'est que formalité rédactionnelle.

Posté par
FLEURISTIN
re : Application non injective 12-06-19 à 01:52

Jezebeth @ 12-06-2019 à 01:49

Blague à part : quand j'étais en prépa, j'ai découvert la puissance des dessins et je te promets que c'est devenu mon arme de secours absolue depuis. Les exercices de topologie algébrique les plus théoriques que tu pourras jamais rencontrer se détruisent parfois en cinq minutes grâce à un dessin intelligent.

Ici, tu as A, une partie de E stricte. Tu dessines une patate qui représente E et une patate plus petite à l'intérieur de E, représentant ainsi A. Tu cherches une partie Y telle que pour toute partie X, X inter A ne soit jamais Y. Oh bah tiens, si on prend par exemple une partie "plus grosse" que A, ça marche super bien. Voilà. Exercice plié avec des patates. Le reste n'est que formalité rédactionnelle.


Voilà ce que je répète à mes étudiants tout le temps.

Posté par
Ramanujan
re : Application non injective 12-06-19 à 02:13

Ah d'accord je vois. J'essaierai d'utiliser votre méthode à l'avenir !

Du coup, on prend Y=E.

Montrons que  \forall X \in P(E) \ u_A(X) \ne E .

Soit X \in P(E) . u_A(X) = X \cap A \subset E \cap A = A  

On a montré que : u_A(X) \subset A \ne E

Donc \forall X \in P(E) \ u_A(X) \ne E

Posté par
Jezebeth
re : Application non injective 12-06-19 à 02:20

Oui

juste :

Ramanujan @ 12-06-2019 à 02:13

u_A(X) = X \cap A \subset E \cap A = A  


pas besoin de quelconque autre sorcellerie que la définition de truc inter machin pour montrer que X \cap A \subset A...

Posté par
malou Webmaster
re : Application non injective 12-06-19 à 08:10

ce qui montre que bien que disant

Ramanujan @ 12-06-2019 à 02:13

Ah d'accord je vois. J'essaierai d'utiliser votre méthode à l'avenir !


Ramanujan, tu n'as toujours pas d'image en tête ou sur le papier de ce qu'est une intersection

Posté par
Ramanujan
re : Application non injective 12-06-19 à 11:16

Si une intersection ou une union j'ai les images en tête.

Posté par
Ramanujan
re : Application non injective 12-06-19 à 11:17

Jezebeth @ 12-06-2019 à 02:20

Oui

juste :
Ramanujan @ 12-06-2019 à 02:13

u_A(X) = X \cap A \subset E \cap A = A  


pas besoin de quelconque autre sorcellerie que la définition de truc inter machin pour montrer que X \cap A \subset A...


Oui j'ai rajouté un passage inutile

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