Bonsoir,

Comment justifies-tu la dernière ligne ?
Comment prouve-t-on une non égalité ?
C'est la méthode du contre exemple.
Il te suffit de trouver un polynôme P et un polynôme Q pour lesquels l'égalité est fausse.
Du coup, il y a beaucoup plus simple.
Prends P=1, Q=0, =2.
f(P)=1
f(2P)=4
2f(P)=2≠4 .

Bonjour,
Pour qu'une application, il faut que

quelque soient x et y de l'ensemble de départ de l'application.
Il suffit donc de montrer qu'il y a un x et un y qui ne vérifient pas
f(x+y)=f(x)+f(y), et il faut pas chercher loin.
Votre démonstration n'est pas fausse. En général, on n'a pas

mais il suffit de prendre un cas particulier.
En espérant vous avoir été utile.

Bonjour coopers
C'est juste, mais trop compliqué car pour passer de l'avant-dernière ligne à la dernière, il faut exhiber des coefficients et un polynôme qui mettent en défaut la linéarité; donc, au final, un simple contre-exemple suffit en guise de démonstration.

Tu appelles l'application.

Et pour aller au plus simple : tu prends , on a clairement

Bonsoir à tous,

merci beaucoup pour votre aide.

J'ai compris qu'il faut chercher un contre-exemple pour montrer qu'une application n'est pas  linéaire.
Est-ce que je peux rédiger comme ceci ma réponse:
soit l'application et le polynôme
donc n'est pas linéaire.

Mais dans le cas d'une application linéaire, est-ce qu'on peut rédiger ainsi :
Par exemple : soit l' application  
                      
                      

Soient P,Q et , deux réels
(P+Q)
=2(P+Q)
=2P+2Q
=2P +2Q
=(P)+(Q)
aucune  justification supplémentaire n'est nécessaire dans le cas d'une application linéaire?

Dans ce cas, oui, c'est bon.
On peut éventuellement, à la fin, illustrer à l'aide d'un exemple mais ce n'est pas indispensable.

salut

on peut utiliser un contre-exemple "général"

f(P) + f(P) = 2P^2

f(2P) = 4P^2

et 4 <> 2 suffit pour conclure que f n'est pas linéaire ...

Bon bin là si on n'a pas compris que dans , 4 est différent de 2 ...

pas d'accord ...

combien de fois un mathématicien tâtonne avant de présenter une réponse convenable (et rigoureuse)  ...

le pb c'est que maintenant on voit vraiment du bricolage et de l'à peu près de façon permanente ...

Je suis d'accord avec vous deux. Les mathématiques sont d'abord et avant tout une science expérimentale.
Comme tout le monde je tatonne avant de trouver une bonne réponse. Beaucoup de mes réponses « importantes « sur ce site font, avant rédaction, l'objet de pas mal de pages de brouillon.