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Application qui envoie un repère affine sur un autre
Bonjour,
en relisant mon cours de géométrie euclidienne je me rends compte que mon professeur n'a pas fait la démonstration d'un théorème. J'introduis les notations du cours : P est un plan affine de la forme P=K^2 avec K un corps, GA(n, K) est le groupe affine (c'est-à-dire les applications affines bijectives qui vont de K^n dans K^n avec K un corps, de la forme f(x) = Ax + b). Théorème :
"Soit (O,u,v) et (O',u',v') deux repères affines dans P. Alors il existe une unique application affine bijective f telle que f(O) = O', f(u) = u' et f(v) = v'. "
J'ai pensé à vectorialiser par rapport à O' (resp. O) par une translation qui envoie O sur O' et j'aimerais bien exploiter le fait qu'il existe une unique application linéaire qui envoie une base sur une autre base, mais tout est confus dans ma tête...
Merci d'avance.
salut
si on travaille dans l'espace affine on cherche simplement une bijection f qui envoie le triplet (O, I, J) sur le triplet (O', I', J') sachant que les points ne sont pas alignés pour chacun des triplets ....
il y a alors deux (trois) cas :
les droites (OO'), (II') et (JJ') sont parallèles ...
les droites (OO'), (II4) et (JJ') sont concourantes (et alors on a un point fixe W : f(W) = W
(tous les autres cas ...)
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"Soit (O,u,v) et (O',u',v') deux repères affines dans P. Alors il existe une unique application affine bijective f telle que f(O) = O', f(u) = u' et f(v) = v'. "
J'ai pensé à vectorialiser par rapport à O' (resp. O) par une translation qui envoie O sur O' et j'aimerais bien exploiter le fait qu'il existe une unique application linéaire qui envoie une base sur une autre base
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Bonsoir,
oui, c'est exactement cela ! il existe une et une seule application linéaire F^ (bijective) qui envoie la base (u,v) sur la base (u', v') : c'est de l'algèbre linéaire. Et par suite, il existe une et une seule application affine F (bijective) envoyant O sur O' et associée à l'application linéaire F^.
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