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application R^2 vers R^3

Posté par Profil machintruc 26-12-18 à 19:36

Bonjour

Vous auriez plus simple comme application à me proposer?
car dans mon exemple j'ai des puissances 4 sur mes termes
en fait j'en ai besoin pour construire des repères barycentriques fonctions d'un quelconque vecteur  

Merci d'avance sinon à défaut je prendrai mon exemple

f:\mathbb {R}^2\rightarrow \mathbb {R}^3 est une application telle que

\forall \left(  x,y\right)\in \mathbb {R}^2 et en posant f\left(x,y\right)=\left(a,b,c\right) alors

a=BC=\sqrt {x^4+2x^2+1}
b=AC=\sqrt {2x^4+y^4+4x^2+2y^2+2x^2y^2+2}
c=AB=\sqrt {x^4+y^4+2x^2+1}

sont les trois côtés d'un triangle non plat ABC

tel qu'en plus le déterminant de la matrice   \left( \overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC}\right) est toujours strictement positif

ici je donne dans mon exemple

\overrightarrow {AB}=\begin {pmatrix}  1+x^2\\y^2  \end {pmatrix} et  \overrightarrow {AC}=\begin {pmatrix}   1+x^2\\ 1+x^2+y^2  \end {pmatrix}

donc là on a :

  \forall \left(  x,y\right)\in \mathbb {R}^2 ,  det \begin {pmatrix}  1+x^2&1+x^2\\y^2 &1+x^2+y^2 \end {pmatrix}>0

Posté par
lafol Moderateurre : application R^2 vers R^3 26-12-18 à 19:38

Bonjour
les identités remarquables, ce serait bien de les remarquer !

Posté par Profil machintrucre : application R^2 vers R^3 26-12-18 à 19:52

ah oui

(x^2+1)^2=x^4+1+2x^2

j'avais la tête dans le guidon

merci mlle,mme Lafol

Posté par
lafol Moderateurre : application R^2 vers R^3 26-12-18 à 19:55

sinon, tu ne dis pas très clairement ce que tu cherches à faire ... A,B et C sont imposés ? c'est toi qui les choisis ? si oui, quelles sont les contraintes ? juste le coup du déterminant positif ?

Posté par Profil machintrucre : application R^2 vers R^3 26-12-18 à 20:02

non rien est imposé

en partant d'un quelconque vecteur (éventuellement nul de R^2) la fonction doit permettre de construire un triangle non plat ABC de côtés a,b,c  

et oui le déterminant de \left( \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}\right) strictement positif (selon la convention d'écriture des triangles a=BC,b=AC,c=AB)sinon à part ça ...

Posté par
lafol Moderateurre : application R^2 vers R^3 26-12-18 à 20:06

pourquoi tu es parti sur des choses aussi compliquées ?
une fonction constante n'aurait-elle pas pu faire l'affaire ?

Posté par Profil machintrucre : application R^2 vers R^3 26-12-18 à 20:37

en fait ce que je veux faire c'est avoir toujours la garantie d'avoir un repère barycentrique ABC sur le plan image d'une projection conique à partir d'un vecteur \overrightarrow {P^{\prime}Q^{\prime}} éventuellement nul

P' et Q' sont les images sur le plan image par une projection conique de deux points P et Q en mouvements et qui appartiennent à  une droite de l'espace qui rencontrera le plan image

du coup c'est le mouvement de ces deux points qui définiront mon repère barycentrique sur le plan image  en posant A le point de fuite et
\overrightarrow {AB} et \overrightarrow {AP^{\prime }} de même sens et direction  

bon avec les identités remarquable ça simplifie je trouve non?

Posté par Profil machintrucre : application R^2 vers R^3 31-12-18 à 20:18

Bonjour

à propos de cette application f

en posant les trois fonctions réelles  p(x)=\sqrt {\left(x^2+1\right)^2+1}

q(x)=\sqrt {x^4+1}

g(x)=\dfrac {1}{2}\sqrt {\dfrac {\left( p(x)+q(x)-1  \right) . \left( q(x)-p(x)+1   \right) .  \left( p(x)-q(x)+1   \right)}{p(x)+q(x)+1}}

alors g(x) donne le rayon du cercle inscrit du triangle ABC

de côtés a,b,c selon  f\begin {pmatrix}0\\ x\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}a\\ b\\ c\end {pmatrix}

cette fonction est paire et strictement positive

elle a la forme d'une cloche de limite nulle en l'infini  et vérifie g(0)=\dfrac {1}{2+\sqrt {2}}

par contre en posant g(x)=\dfrac {1}{2+\sqrt {2}}\left(x^2+1\right)

alors  g(x) donne le rayon du cercle inscrit du triangle ABC

de côtés a,b,c selon  f\begin {pmatrix}x\\ 0\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}a\\ b\\ c\end {pmatrix}

Posté par Profil machintrucre : application R^2 vers R^3 31-12-18 à 21:13

...et en posant

a:\mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}

a(x)=x^2+1

b:\mathbb {R}\times \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}

b(x,y)=\sqrt {\left(x^2+1\right)^2+\left(x^2+y^2+1\right)^2}

c:\mathbb {R}\times \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}

c(x,y)=\sqrt {\left(x^2+1\right)^2+y^4}

r:\mathbb {R}\times \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}

r(x,y)=\dfrac {1}{2}\sqrt {\dfrac {\left(b(x,y)+c(x,y)-a(x)\right).\left(a(x)+c(x,y)-b(x,y)\right).\left(a(x)+b(x,y)-c(x,y)\right)}{a(x)+b(x,y)+c(x,y)}}

alors r(x,y) donne le rayon du cercle inscrit du triangle ABC de cotés a(x),b(x,y),c(x,y)

par cette application f\begin {pmatrix}x\\y \end {pmatrix}=\begin {pmatrix}a(x)\\b(x,y)\\c(x,y)\end {pmatrix}

représentation de la surface engendrée dans \mathbb {R}^3 par cette application r

application R^2 vers R^3

Posté par Profil machintrucre : application R^2 vers R^3 05-01-19 à 19:29

Salut

le calcul de l'aire du triangle s'exprime très simplement

Aire du triangle ABC =\dfrac {1}{2}\left(x^2+1\right)^2

avec  f(x,y)=(a,b,c)

avec les trois côtés a,b,c du triangle non plat ABC

Posté par Profil machintrucre : application R^2 vers R^3 05-01-19 à 20:54

..et le rayon du cercle inscrit du triangle s'écrit aussi très simplement

le rayon du cercle inscrit = \dfrac {a^2}{a+b+c}

Posté par Profil machintrucre : application R^2 vers R^3 11-01-19 à 23:33

Salut

une dernière chose avant de conclure ce sujet

en se donnant

le rayon inscrit r>0 d'un triangle non plat

un réel positif u\geq 0

deux entiers i\in \{-1,1\} et  j\in \{-1,1\}

et en posant

d=r.\left(2+\sqrt {2}\right)-1

\sigma =\left\lfloor\dfrac{2\left\lfloor\dfrac{d+\left|d \right|+1}{\left|d \right|+1}\right\rfloor}{\left\lfloor\dfrac{d+\left|d \right|+1}{\left|d \right|+1}\right\rfloor +1}\right\rfloor

t=i.\sqrt {\sigma .d+u}

a=t^2+1

\delta=a^2\left(\dfrac {1}{r}\right)^2-2a. \left(\dfrac {1}{r}\right)+\dfrac {2r}{a}+\dfrac {a}{2r-a}-2

k=j.\sqrt {\dfrac {a}{2}\left(\sqrt {\delta}-1\right)}

on peut alors remarquer que

r est aussi le rayon d'un cercle inscrit d'un triangle non plat ABC tel que

a=BC

b=AC=\sqrt {a^2+\left(a+k^2\right)^2}

c=AB=\sqrt {a^2+k^4}

et on vérifiera toujours

k^4+a.k^2-\dfrac {a^2}{4}.\left(\delta -1\right)=0

Posté par Profil machintrucre : application R^2 vers R^3 11-01-19 à 23:39

edit:

le rayon r>0 d'un cercle inscrit d'un triangle non plat


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