Bonsoir,

Où te dit-on que est distingué dans ? Il est à noter que est une application ensembliste.

Salut, merci pour ta réponse.
En effet on a pas l'info donc on peut pas utiliser le théorème (d'ailleurs c'est pas plutôt H qui doit être distingué dans G pour que le théorème s'applique ? )

Bon sinon je suppose qu'une application ensembliste est forcément surjective, mais je sais pas pourquoi.

En fait je sais pas vraiment ce que c'est une application ensembliste et j'ai rien trouvé sur Google..

Bonsoir,
dans ce cadre on dit qu'une application est ensembliste pour dire qu'elle ne respecte pas, a priori, les lois de groupes.

Par exemple si on considère le groupe (Z,+) on va dire que l'application de Z dans lui même définie par xx+3 est « ensembliste ».

D'accord merci.
Mais cela suffit t'il à justifier la surjectivité?

Non une application ensembliste peut à priori être quelconque . Donc il faut faire ici un raisonnement classique de surjectivité ...

salut

f est surjective car xH xK ...

D'accord

Donc l'idée serait de montrer que chaque élément de la classe de G/K peut être associé à un élément de la classe de G/H par l'application f.

Or comme H est inclu dans K, |K|>|H| donc |G/H|> |G/K|,  donc à chaque élément de G/K, on pourra associer au moins un élément de G/H d'où la surjectivité.

C'est ça ?

Comme l'a fait remarqué carpediem, il n'est pas très dur d'exhiber un élément z de G/H tel que

y G/K, z G/H tel que z y

Et cela est vrai pour y = xK, z = xH, et x G

Du coup il suffit que f soit l'application qui "complète" xH pour lui ajouter les éléments manquants afin d'obtenir xK

Ça a du sens ?

C'est pas parce que les sous groupe sont pas distingués que tu peux pas utiliser la propriété de factorisation hein.
Elle te donne immédiatement le résultat.

C'était mon idée de départ ^^

Ben oui, mais tu l'as "mal" appliquée.

J'ai beau relire en boucle je vois pas où est le problème dans mon premier message

G->G/H n'est pas une morphisme... Il n'a pas de noyau (enfin il existe une notion de noyau pour les ensembles pointés ce que sont bien G et G/H ici, mais passons).
Et il n'y a pas de morphisme non plus G/K->G/H.

Dans le cours on appelle ça le "morphismes de passage au quotient"

Non, mais relis ton cours...
La propriété énoncé dans ton cours ca doit etre qqch comme ca.
Soit G un groupe et H un sous groupe DISTINGUE de G, alors pour tout GROUPE T et tout morphisme f:G->T, tel que f(H)=1, il existe un unique morphisme de groupe g: G/H->T tel que f=gop (avec p: G->G/H, le passage au quotient).

Ici tu n'as PAS de morphisme de groupe G->G/H (G/H n'est meme pas un groupe a piori), et K n'est pas nécéssairement distingué, tu ne peux donc pas appliquer tel quel la proposition précédente.

     Soient H et K deux  sous-groupes distingués d'un groupe G et h : G  G/H , k : G G/K  les morphismes de groupes associés .

Soit X G/H .
      Si x et y sont dans X on a xy^-1 H donc  xy^-1 K ou k(x) = k(y) .
{ k(x) │ x X } est donc un singleton qu'on peut noter { f(X)} .
On définit ainsi une application f de G/H  vers G/K  qui vérifie  f(h(x)) = k(x) pour tout x de G . Autrement dit f o h = k .

Soient X et Y dans G/H .
      Si x   X et y Y  on a :
f(XY) = f(h(xy)) =  k(xy)  = k(x)k(y) ) f(h(x))f(h(y)) = f(X)f(Y) donc f est un morphisme de groupe .
G/K = k(G) = f(h(G)) = f(G/H) donc f est surjectif  .

J'ai oublié l'hypothèse  " H  contenu dans K "

Ni H ni K ne sont supposés distingués...

Mais bref, l'exo resulte immédiatement de la propriété universelle du passage au quotient (dans la catégorie des ensembles), encore faut il l'ecrire correctement, i.e pas comme ca

wuksey @ 13-05-2019 à 20:49



Je définis deux morphismes :
: G -> G/H
: G -> G/K

Et j'applique le théorème de factorisation des morphismes.
est surjective et H ker

Donc f est l'unique morphisme G/H → G/K tel que f est surjective.

C'est correct ?

Merci !

Bonsoir,

Vu que est un groupe, il possède un neutre, disons , de sorte que . C'est ainsi que peut encore être définie par , quel que soit .

(...)