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Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 29-08-19 à 16:22

D'abord 2)c): tu n'as pas répondu à la question:

  

Citation :
c) déterminer dans le cas où ...

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 29-08-19 à 16:30

En fait si, tu as répondu mais ta réponse est fausse: ce n'est pas \dfrac{5\pi}{4}

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 29-08-19 à 16:34

D'accord,je refais

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 29-08-19 à 16:34

Je précise:

Tu as {\red 4}\theta=\dfrac{5\pi}{4}+2k\pi

et dans l'intervalle ]0,2\pi[, tu auras 4 valeurs possibles pour \theta

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 29-08-19 à 16:37

Oups en fait, j'ai mal copié, c'est=5/16+(1/2)k

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 29-08-19 à 16:39

Citation :
et dans l'intervalle ]0,2\pi[, tu auras 4 valeurs possibles pour \theta


Il faut les donner!

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 29-08-19 à 16:49

Compris

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 29-08-19 à 16:50

Et pour la valeur de m que j'ai proposé pour que T soit une isométrie ?

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 29-08-19 à 16:53

3)a)  

Citation :
T isométrie ssi |m.e4i|=1


Si tu veux procéder comme ça oui mais:

  
Citation :
Donc j'ai trouvé m=1


Pas seulement!

Je dois m'absenter une heure ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Applications affines géométrie avec paramètres 29-08-19 à 17:02

Bonjour,
Je prends un peu le relais

Citation :
3) a) pour quelles valeurs de m, l'application T est une isométrie
b) pour chacune des valeurs de m trouvées,

Il est sous entendu par la question b) qu'il y a plusieurs valeurs.

Traduis correctement \; |m.e4i|=1

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 29-08-19 à 17:30

Voilà ce que j'ai fait,
\left|m cos(4 \theta)+isin(4\theta )\right| =1
Donc,
\sqrt{(mcos(4\theta )²+(msin4\theta )²}=1
Alorsm\sqrt{(cos(4\theta )²+(sin4\theta )²}=1
m=1

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 29-08-19 à 17:46

comme tu t'y est pris:  \sqrt{m^2}=|m| ...

Mais ce n'était pas la meilleure façon:

|me^{4i\theta]|=|m|.||e^{4i\theta}|=|m|

et il y avait à mon sens une meilleure façon en repartant de la définition d'une isométrie...

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 29-08-19 à 17:47

Ouh là!

|me^{4i\theta}|=|m|.|e^{4i\theta}|=|m|

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 29-08-19 à 18:02

Et c'est comment cette meilleure façon ?

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 29-08-19 à 18:03

D'abord, donne nous les valeurs de m obtenues.

et merci Sylvieg

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 29-08-19 à 18:07

m=1

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 29-08-19 à 18:28

Oui, et cela correspond précisément au cas où T n'a pas un point invariant unique.

   - Ou bien aucun --> symétrie  glissée

   - Ou bien une infinité (un axe) -->réflexion

Une autre méthode:

    Soit a et b distincts avec T(a)=a' et T(b)=b'

On a:

   a'=me^{4i\theta} \bar{a}+1

    b'=me^{4i\theta} \bar{b}+1

Par différence b'-a'=me^{4i\theta} (\bar{b}-\bar{a})

b'-a'=me^{4i\theta} \overline{(b-a)}

d'où |b'-a'|=|m|.|\overline{b-a}|=|m|.|b-a|

Dire que T est une isométrie revient à dire que |b'-a'|=|b-a| donc que |m|=1

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 29-08-19 à 18:47

D'accord

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 29-08-19 à 22:47

Attendez, ce , c'est juste de la poudre, c'est nullement l'angle ni un élément caractéristique de T. C'est juste un paramètre réel tout comme m?

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 30-08-19 à 09:01

T_{m,\theta} avec m\not=0 , si on la considère comme une transformation ponctuelle: M(z)\Longrightarrow M'(z') est une similitude indirecte (son écriture complexe est de la forme z'=a\bar{z}+b avec a\not=0).

Les différents cas de figure:

   - m=\pm 1

          C'est une isométrie:
                - Soit une réflexion caractérisée par son axe (ensemble des points invariants)
                - Soit une symétrie glissée caractérisée par son axe et un vecteur translation colinéaire à cet axe (aucun point invariant).

                  On aura deux exemples dans 3)b).

    -m\not=\pm 1

         Ce n'est pas une isométrie; un unique point invariant.
                -C'est en général la composée commutative d'une réflexion dont l'axe passe par le point invariant et d'une homothétie de centre le point invariant et de rapport positif.

                   On aura un exemple dans 4)

Dans tous les cas aucun angle n'intervient dans les différentes caractérisations géométriques de T_{m,\theta}.
Je te l'avais écrit plus haut: une similitude indirecte a éventuellement un centre ou un axe ou les deux mais jamais d'angle.

Et oui, \theta est ici un paramètre réel.
            

    

            

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 30-08-19 à 14:04

4)a) donner la première droite globalement invariante par T(3/2;/6) avant de préciser ses éléments caractéristiques en 4)b)
Comment faire ?

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 30-08-19 à 16:17

Là, il faut tout de même avoir quelques connaissances:

   - Cette droite (la première appelée axe de la similitude) passe par le point \Omega (unique point invariant puisque m=\dfrac{3}{2}) d'affixe \omega

   - Cette droite est l'ensemble des points M pour lesquels \vec{\Omega M'}=k\,\vec{\Omega M} où k est le rapport (positif) de la similitude indirecte.

Je pense qu'il est clair qu'ici k=\dfrac{3}{2}

La moindre des choses est de calculer \omega l'affixe du point invariant. Tu as tous les éléments pour le faire grâce aux questions précédentes.

Tu pourras réfléchir à la suite (comment obtenir une équation cartésienne de cette droite ?). Il existe de nombreuses méthodes.

Pour l'instant, calcule \omega.

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 30-08-19 à 16:19

Citation :
Pour l'instant, calcule \omega.


Ou les coordonnées de \Omega ce qui revient au même.

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 30-08-19 à 16:58

D'accord

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 31-08-19 à 17:54

J'utilise la formule= a(z barre- barre) = k(z) pour trouver la droite

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 31-08-19 à 18:28

Si je te suis bien, tu as écrit:

  a(\bar{z}-\bar{\omega})= k(z-\omega)

Donc avec a=\dfrac{3}{2}\,e^{\frac{2i\pi}{3}} et k=\dfrac{3}{2}

Pour ne rien te cacher, j'ai démarré comme ça...  Reste à savoir comment tu vas continuer.

Les "formules" comme tu dis, ça ne me plait qu'à moitié. On peut très naturellement arriver à ton égalité sans connaître une seule "formule". Et on tombe aussi sur une deuxième droite globalement invariante perpendiculaire à la première en \Omega \\ Si tu veux je te donnerai quelques explications.

Au fait, ces coordonnées de \Omega ou son affixe \omega ???

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 31-08-19 à 20:17

\omega =\frac{ab^-+b}{1-aa^-}=-\frac{1}{5}-i\frac{3\sqrt3}{5}
():\frac{9}{4}x-\frac{3\sqrt3}{4}y-\frac{9}{10}=0

4)b) T(3/2;/6) est une similitude indirecte car |a|1 et son rapport est k=3/2, et son centre(-1/5;-33/5) et son axe la première droite globalement invariante par T, d'équation (): 9/4 x -33/4 y -9/10 =0

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 31-08-19 à 23:33

Tes résultats (point invariant et équation d'une droite globalement invariante) sont exacts.

Par contre, ceci:

  

Citation :
T(3/2;/6) est une similitude indirecte car |a|1


  ne tient pas debout.

Je ne sais pas comment tu t'y est pris, mais je soupçonne une application de formules de ton cours. Bien sûr, tu fais avec les moyens dont tu disposes et c'est tout à ton honneur d'autant plus que tes résultats sont justes.

Néanmoins, demain, je posterai une manière de voir les choses différemment (pour parvenir aux mêmes résultats). Je pense que ce sera instructif pour toi.

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 01-09-19 à 09:04

D'après 2)a), T_{(\frac{3}{2},\frac{\pi}{6})} a un unique point invariant puisque m=\dfrac{3}{2}.

On calcule sans difficultés les coordonnées de ce point invariant avec 2)b) et (m,\theta)=\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{\pi}{6}\right) \\ :
   \Omega\left(-\dfrac{1}{5},-\dfrac{3\sqrt{3}}{5}\right)

Si une droite globalement invariante par T_{(\frac{3}{2},\frac{\pi}{6})} existe, elle passe par le point fixe \Omega.

  Soit M(z) un point de cette droite. Les points \Omega, M(z) et M'(z') sont alignés.

  D'autre part \Omega M'=\dfrac{3}{2}\,\Omega M (similitude de rapport \dfrac{3}{2})

Ces deux dernières conditions permettent d'écrire:

   \vec{\Omega M'}=\dfrac{3}{2}\,\vec{\Omega M}  (1) ou  \vec{\Omega M'}=-\dfrac{3}{2}\,\vec{\Omega M}  (2)

On s'occupe de (1):

    z'=\dfrac{3}{2}\,e^{\dfrac{2i\pi}{3}}\bar{z}+1

    \omega=\dfrac{3}{2}\,e^{\dfrac{2i\pi}{3}}\bar{w}+1

Par différence:

    z'-\omega=\dfrac{3}{2}\,e^{\dfrac{2i\pi}{3}}\,(\overline{z-\omega})

et (1) se traduit par:

  z'-\omega=\dfrac{3}{2}\,(z-\omega)

d'où l'on déduit:

z-\omega=e^{\dfrac{2i\pi}{3}}\,(\overline{z-\omega}) et on passe aux arguments et leur interprétation géométrique:

    (\vec{i},\vec{\Omega M})=\dfrac{2\pi}{3}-(\vec{i},\vec{\Omega M})+2k\pi \qquad k\in\mathbb{Z}

   (\vec{i},\vec{\Omega M})=\dfrac{\pi}{3}+k\pi\qquad k\in\mathbb{Z}

Autrement dit, cette première droite \Delta globalement invariante (qui passe par \Omega) fait un angle de \dfrac{\pi}{3} avec l'axe des abscisses. Une équation de \Delta:

   \Delta:\,y-y_{\Omega}=\tan\,\dfrac{\pi}{3}\,(x-x_{\Omega})

   qui donne: \Delta:\,15x-5\sqrt{3}y-6=0

Avec (2), on obtient de la même manière:

     (\vec{i},\vec{\Omega M})=\dfrac{5\pi}{6}+k\pi\qquad k\in\mathbb{Z}

  Il s'agit de \delta seconde droite globalement invariante et perpendiculaire à \Delta en \Omega.

  Applications affines géométrie avec paramètres

Une réponse possible pour 4)b):

  Soit S_{\Delta} la réflexion d'axe \Delta et h l'homothétie ce centre \Omega et de rapport \dfrac{3}{2}

  T_{(\frac{3}{2},\frac{\pi}{6})}=S_{\Delta}\circ h=h\circ S_{\Delta}

Sur la figure,  T_{(\frac{3}{2},\frac{\pi}{6})}(M)=M'
  

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 02-09-19 à 17:03

D'accord.
Mais

Citation :
T(3/2;/6) est une similitude indirecte car |a|≠1 ne tient pas debout.
pourquoi ? N'est ce pas vrai ?

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 02-09-19 à 19:54

T_{(m,\theta)} est une similitude indirecte parce que son écriture complexe est de la forme z'=a\bar{z}+b (avec a\not=0)

Que |a|=1 ou non ne change rien à l'affaire: c'est toujours une similitude indirecte.

Posté par Profil Fifaliana36re : Applications affines géométrie avec paramètres 02-09-19 à 20:07

Oui c'est vrai
Bon l'exercice est terminé
Mille mercis

Posté par
lakere : Applications affines géométrie avec paramètres 04-09-19 à 20:40

De rien Fafaliana36

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