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Applications bijectives et leurs bijections réciproques.

Posté par
matheux14
01-08-20 à 20:32

Bonsoir ,

Merci d'avance.

Dans chacun des cas suivants , démontrer que l'application f est bijective et déterminer sa bijection réciproque.

1) f: IR --> IR

        x |--> \dfrac{2x+1}{3}

2) f: [0;1[ --> ]-∞;-1]

          x |--> \dfrac{1}{x²-1}

3) IR² --> IR²

       (x;y)|--> (-x+y;x-y)

Réponses

1) y\in\R ;

Posons y=f(x).

Montrons que y=f(x) admet une unique solution.

y=f(x)

y=\dfrac{2x-1}{3}  

x=\dfrac{3y+1}{2}

Donc y\in\R , y=f(x) admet une unique solution : \dfrac{3y+1}{2}

D'où f est bijective et sa bijection réciproque est :

f-1: IR-->IR

                              x |--> \dfrac{3x+1}{2}

2) x\in ]-∞;-1] ;

Posons f(x)=y

Montrons que f(x)=y admet une unique solution.

f(x)=y

Il vient x²=\dfrac{1-y}{y}

Car y \in ]-∞;-1] et donc y\neq0.

x=\sqrt{\dfrac{1-y}{y}} ou

x=-\sqrt{\dfrac{1-y}{y}}

Or y\in ]-∞;-1]

Donc y\leq0

\dfrac{1-y}{y}\geq0

1>\dfrac{1-y}{y}\geq0

Du coup \dfrac{1-y}{y} \in [0;1[ et donc \sqrt{\dfrac{1-y}{y}} \in [0;1[

Donc S=\sqrt{\dfrac{1-y}{y}} car -\sqrt{\dfrac{1-y}{y}} [0;1[.

Par conséquent f(x)=y admet une unique solution : \sqrt{\dfrac{1-y}{y}}

Donc f est bijective et sa bijection réciproque est :

f-1: ]-∞;-1] -->[0;1[

                    x |--> \sqrt{\dfrac{1-x}{x}}


Pour la dernière question je ne sais pas comment faire...

Posté par
Zormuche
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 01-08-20 à 21:00

Bonjour

Le y est déjà pris, donc prenons d'autres noms

Soit (t,u)\in\R^2

Résous l'équation f(x,y)=(t,u)

Posté par
Zormuche
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 01-08-20 à 21:02

par contre là, elle n'est pas bijective, tu es sûr que tu ne t'es pas trompé dans l'écriture ?

Posté par
matheux14
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 01-08-20 à 22:40

Non , je viens de revérifier !

Es tu certain de ce que tu dis ?

Posté par
Zormuche
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 01-08-20 à 22:42

Certain, résous l'équation, tu verras bien

Elle n'est pas bijective de R^2 dans R^2. En fait, elle n'est ni surjective, ni injective, donc on est loin du compte

Posté par
matheux14
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 01-08-20 à 22:58

OK

Mais et si on essayait de voir un peu les choses ?

Par exemple  f : IR² --> IR²

       (x;y)|--> (x+y;x-y)

Est ce que cela marcherait ?

Bon.. je fais ce que tu dis , c'est que l'énoncé soit erroné...

Alors soit (a;b) \in \R².

Résolvons f(x)=(a;b)

Ce qui revient à résoudre le système :

\begin{cases} x+y=a \\ x-y=b \end{cases}

Équivaut à \begin{cases} x=a-y \\ y=x-b\end{cases}

D'où S_{\R²}=((a-y) ;(x-b))

Alors c'est bon ?

Posté par
Zormuche
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 01-08-20 à 23:02

Là, la fonction f est bien bijective ! mais ce n'est pas celle que tu as donné dans l'énoncé

Tu t'es trompé dans le système : les inconnues sont x et y, et ne doivent pas être exprimées en fonction d'autres inconnues
tu as écrit x=a-y et y=x-b : c'est vrai, mais ça ne constitue pas une solution
sinon c'est comme si je disais x=x et y=y

Posté par
matheux14
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 01-08-20 à 23:19

Comment çà ?

Comment devrais-je faire alors ?

Posté par
Ramanujan
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 01-08-20 à 23:44

Dans la 2ème ligne du système, remplace x par a-y...

Posté par
matheux14
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 02-08-20 à 00:02

Ok


Équivaut à

\begin{cases} x=a-y \\ y=(a-y)-b\end{cases}

Équivaut à

\begin{cases} x=a-y \\ y=a-y-b\end{cases}

Équivaut à \begin{cases} x=a-y \\ 2y=a-b\end{cases}

Équivaut à \begin{cases} x=a-y \\ y=\dfrac{a-b}{2}\end{cases}

Équivaut à \begin{cases} x=a-(\dfrac{a-b}{2}) \\ y=\dfrac{a-b}{2}\end{cases}

Équivaut à \begin{cases} x=\dfrac{a+b}{2} \\ y=\dfrac{a-b}{2}\end{cases}

S_{\R²}={(\dfrac{a+b}{2} ;\dfrac{a-b}{2}) }

Du coup f est bijective et sa bijection réciproque est :

f: IR²-->IR²

   x|--> (\dfrac{x+y}{2};\dfrac{x-y}{2})

Merci Ramanujan

Posté par
Zormuche
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 02-08-20 à 00:14

(x,y)\mapsto\left(\dfrac{x+y}{2},\dfrac{x-y}{2}\right)  plutôt

Posté par
matheux14
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 02-08-20 à 00:54



Merci

Posté par
malou Webmaster
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 02-08-20 à 08:26

à 22h58 a été écrit

Citation :
Résolvons f(x)=(a;b)

cela n'a pas de sens car f : R²
c'est f(x,y)=(a,b)

Posté par
matheux14
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 02-08-20 à 08:40

Ha d'accord , cela m'avait échappé ...

Merci et bonne journée à toi

Posté par
malou Webmaster
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 02-08-20 à 08:42

à toi aussi, bonne journée !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 02-08-20 à 11:09

Bonjour,
Un grain de sel sur l'énoncé faux du 3) :
f(x,y) =(x',y') \; avec \; x' = -x+y \; et \; y' = x-y .

Comment "voir" que \; f \; n'est pas une bijection ?
Remarquer que \; x' = -y' = y-x .
Donc, par exemple (2,3) n'a pas d'antécédent car 3 n'est pas l'opposé de 2..
Et il suffit de choisir 2 couples avec le même y-x pour qu'ils aient la même image.
Tous les couples (x, x+1) avec x réels ont pour image (1,-1) par exemple.

Posté par
matheux14
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 02-08-20 à 11:41

OK ,

Merci Sylvieg

Posté par
matheux14
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 02-08-20 à 11:59

Zormuche @ 01-08-2020 à 22:42

...Elle n'est pas bijective de R^2 dans R^2. En fait, elle n'est ni surjective, ni injective, donc on est loin du compte


Comment ferais-je si on demandait de montrer que f n'est ni injective ni surjective ?

Si possible un exemple où une application f serait injective et surjective ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 02-08-20 à 14:15

Citation :
Comment ferais-je si on demandait de montrer que f n'est ni injective ni surjective ?

En utilisant mon message de 11h09.
Pas injective : (0;1) et (2020;2021) ont la même image.
Pas surjective : (2,3) n'a pas d'antécédent.

Tu demandes une bijection de 2 vers 2 ?

Posté par
matheux14
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 02-08-20 à 14:38

Non , une injection de \R² \mapsto \R²

Et  une surjection de \R² \mapsto \R² ...

Posté par
Samsco
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 02-08-20 à 15:13

Bonjour tlm ,

Dans la résolution de matheux14, au niveau des deux premières questions , il y a des choses que je n'ai pas compris.

1) D'après l'énoncé

f : R --> R
        x ---> (2x+1)/3

Dans sa résolution , il écrit :

\forall y \in \mathbb{R}~,~y=f(x) \iff y=\dfrac{2x{\red{-}}1}{3}

2) l'énoncé donne

f: [0 ;1[ ---> ]- ; -1]
              x---> 1/(x²-1)

On veut montrer que \forall y \in ]-\infty~;~-1]~,~y=f(x) admet une unique solution appartement à [0 ;1[

On a :

y=f(x) \iff y=\dfrac{1}{x²-1}
 \\ 
 \\ \iff y(x²-1)=1
 \\ 
 \\ \iff x²-1=\dfrac{1}{y}
 \\ 
 \\ \iff x²=\dfrac{1{\red{+}}y}{y}

Dans sa résolution , il écrit plutôt

x²=(1-y)/y

Posté par
Zormuche
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 02-08-20 à 15:44

matheux14

Voici des exemples

une application f de R^2 dans R^2 qui est injective mais pas surjective :
f : (x,y) \mapsto (\arctan(x),\arctan(y))

ou plus simplement l'application g : x \mapsto \arctan(x) qui est injective de R dans R car strictement croissante, mais pas surjective (son ensemble image est ]-pi/2,pi/2[)


Pour un exemple de fonction surjective mais pas injective de R dans R, il suffit de prendre la fonction tangente (oui, le principe est le même que pour la fonction arctangente, et c'est pour ça que les deux servent d'exemple)

En réalité elle n'est pas de R dans R, puisque tangente n'est pas définie sur R, mais il suffit de combler les "trous" artificiellement pour avoir une fonction surjective mais pas injective de R dans R

Posté par
matheux14
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 02-08-20 à 15:59

Samsco , oui c'est une grosse erreur de recopie de ma part ..

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 02-08-20 à 16:15

Je n'avais pas compris la demande de matheux14.
Un exemple simple de surjection non injective de 2 vers 2 :
f(x,y) = (x3-x ; y)

f(-1 ; 2020) = f(0 ; 2020) = f(1 ; 2020) = (0 ; 2020)

Posté par
matheux14
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 02-08-20 à 16:17

Ok merci à vous !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 02-08-20 à 16:18

Une injection non surjective :
f(x,y) = (ex ; y)
Le couple (-732 ; 0) n'a pas d'antécédent.

Posté par
matheux14
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 02-08-20 à 16:28

ex  me dérange un peu là ..

Et si on prenait f(ax..) ?

Posté par
Kernelpanic
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 03-08-20 à 00:10

Bonsoir,

sympa ce sujet Pourquoi l'exponentielle te gêne-t-elle matheux14, et qu'entends-tu par f(ax) ? Tu peux facilement construire des injections non surjectives (resp.  des surjections non injectives) à partir de fonctions réelles usuelles comme Sylvieg s'est amusée à faire.

Question : vois-tu comment peut-on construire de telles fonctions ?

Remarque aussi que l'on peut exprimer une fonction f de \R^2 dans \R^2 comme f = (f_1, f_2) dans le sens suivant :

f(x,y) = (~f_1(x,y), f_2(x,y)~)

Par exemple avec f(x,y) = (ex ; y), on a f_1(x,y) = e^x et f_2(x,y) = y (elles ne dépendent que d'une variable en réalité, mais c'est un cas particulier !).
Maintenant regarde bien les fonctions f1 et f2 des précédents exemples, et essaye de voir ce qui fait que l'on a une surjection non injective dans un cas, et une injection non surjective dans l'autre

Bonne soirée !

Posté par
malou Webmaster
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 03-08-20 à 08:02

Kernelpanic @ 03-08-2020 à 00:10

Bonsoir,

sympa ce sujet Pourquoi l'exponentielle te gêne-t-elle matheux14,


car officiellement matheux14 suit un programme de 1re et n'a pas encore étudié l'exponentielle à mon avis

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 03-08-20 à 08:40

Bonjour malou
D'accord pour l'exponentielle non vue. Pour arctan, ça ne doit guère être mieux
Une autre fonction de vers injective et pas surjective :
f(x) = x si x < 0.
f(x) = x+1 si x 0.

Posté par
matheux14
re : Applications bijectives et leurs bijections réciproques. 03-08-20 à 11:34

Bel exemple , merci Sylvieg

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