Bonsoir ,
Merci d'avance.
Dans chacun des cas suivants , démontrer que l'application f est bijective et déterminer sa bijection réciproque.
1) f: IR --> IR
|-->
2) f: [0;1[ --> ]-∞;-1]
|-->
3) IR² --> IR²
|-->
Réponses
1) ;
Posons .
Montrons que admet une unique solution.
Donc , admet une unique solution :
D'où f est bijective et sa bijection réciproque est :
f-1: IR-->IR
|-->
2) ]-∞;-1] ;
Posons
Montrons que admet une unique solution.
Il vient
Car ]-∞;-1] et donc .
ou
Or ]-∞;-1]
Donc
Du coup [0;1[ et donc [0;1[
Donc car [0;1[.
Par conséquent admet une unique solution :
Donc f est bijective et sa bijection réciproque est :
f-1: ]-∞;-1] -->[0;1[
|-->
Pour la dernière question je ne sais pas comment faire...
Certain, résous l'équation, tu verras bien
Elle n'est pas bijective de R^2 dans R^2. En fait, elle n'est ni surjective, ni injective, donc on est loin du compte
OK
Mais et si on essayait de voir un peu les choses ?
Par exemple f : IR² --> IR²
|-->
Est ce que cela marcherait ?
Bon.. je fais ce que tu dis , c'est que l'énoncé soit erroné...
Alors soit .
Résolvons
Ce qui revient à résoudre le système :
Équivaut à
D'où
Alors c'est bon ?
Là, la fonction f est bien bijective ! mais ce n'est pas celle que tu as donné dans l'énoncé
Tu t'es trompé dans le système : les inconnues sont x et y, et ne doivent pas être exprimées en fonction d'autres inconnues
tu as écrit x=a-y et y=x-b : c'est vrai, mais ça ne constitue pas une solution
sinon c'est comme si je disais x=x et y=y
Ok
Équivaut à
Équivaut à
Équivaut à
Équivaut à
Équivaut à
Équivaut à
{}
Du coup f est bijective et sa bijection réciproque est :
f: IR²-->IR²
|-->
Merci Ramanujan
Bonjour,
Un grain de sel sur l'énoncé faux du 3) :
f(x,y) =(x',y') avec x' = -x+y et y' = x-y .
Comment "voir" que f n'est pas une bijection ?
Remarquer que x' = -y' = y-x .
Donc, par exemple (2,3) n'a pas d'antécédent car 3 n'est pas l'opposé de 2..
Et il suffit de choisir 2 couples avec le même y-x pour qu'ils aient la même image.
Tous les couples (x, x+1) avec x réels ont pour image (1,-1) par exemple.
Bonjour tlm ,
Dans la résolution de matheux14, au niveau des deux premières questions , il y a des choses que je n'ai pas compris.
1) D'après l'énoncé
f : R --> R
x ---> (2x+1)/3
Dans sa résolution , il écrit :
2) l'énoncé donne
f: [0 ;1[ ---> ]- ; -1]
x---> 1/(x²-1)
On veut montrer que admet une unique solution appartement à [0 ;1[
On a :
Dans sa résolution , il écrit plutôt
x²=(1-y)/y
matheux14
Voici des exemples
une application f de R^2 dans R^2 qui est injective mais pas surjective :
ou plus simplement l'application qui est injective de R dans R car strictement croissante, mais pas surjective (son ensemble image est ]-pi/2,pi/2[)
Pour un exemple de fonction surjective mais pas injective de R dans R, il suffit de prendre la fonction tangente (oui, le principe est le même que pour la fonction arctangente, et c'est pour ça que les deux servent d'exemple)
En réalité elle n'est pas de R dans R, puisque tangente n'est pas définie sur R, mais il suffit de combler les "trous" artificiellement pour avoir une fonction surjective mais pas injective de R dans R
Je n'avais pas compris la demande de matheux14.
Un exemple simple de surjection non injective de 2 vers 2 :
f(x,y) = (x3-x ; y)
f(-1 ; 2020) = f(0 ; 2020) = f(1 ; 2020) = (0 ; 2020)
Bonsoir,
sympa ce sujet Pourquoi l'exponentielle te gêne-t-elle matheux14, et qu'entends-tu par f(ax) ? Tu peux facilement construire des injections non surjectives (resp. des surjections non injectives) à partir de fonctions réelles usuelles comme Sylvieg s'est amusée à faire.
Question : vois-tu comment peut-on construire de telles fonctions ?
Remarque aussi que l'on peut exprimer une fonction f de dans comme dans le sens suivant :
Par exemple avec f(x,y) = (ex ; y), on a et (elles ne dépendent que d'une variable en réalité, mais c'est un cas particulier !).
Maintenant regarde bien les fonctions f1 et f2 des précédents exemples, et essaye de voir ce qui fait que l'on a une surjection non injective dans un cas, et une injection non surjective dans l'autre
Bonne soirée !
Bonjour malou
D'accord pour l'exponentielle non vue. Pour arctan, ça ne doit guère être mieux
Une autre fonction de vers injective et pas surjective :
f(x) = x si x < 0.
f(x) = x+1 si x 0.
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