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Niveau Maths sup
Applications dans C, ensemble de définition.
Posté par Thursaz
Bonsoir 
J'ai un gros problème concernant un exercice, je ne sais pas du tout comment rédiger, où aller...
Pour z 
, on pose sin z = [ exp(iz) - exp(-iz) ] / 2i
a) Expliquer pourquoi on ne peut pas considérer sans ambuiguïté z 
z comme application définie sur .
b) Montrer cependant que z f(z) = (z ) / ( sin z ) est bien une application sur \ D où D est un ensemble de points isolés de .
c) Montrer : 
x ] -
, 0 [ \ D, f(x) ] 0 , + [
Je pense juste pour la question a) qu'on ne peut pas distinguer dans de signe pour les éléments y appartenant ce qui permettrait de limiter l'utilisation des racines carrées aux nombres positifs ou nuls...
Je tourne en rond pour la b) donc impossible de faire la c).
Merci si vous voulez bien m'aider (mais c'est pas ur-gent!) même sans donner la solution (j'aime bien chercher...)
bonsoir
a) 'est surtout le résultat qu'on ne peut pas trier ! dans R, un nombre positif a deux racines carrées... et pour définir LA fonction racine, on prends la seule racine carrée positive.
Dans C, tout nombre a également deux racines carrées... mais comme il n'y a pas de relation d'ordre compatible avec la multiplication dans C, on ne peut pas privilégier une des deux racines pour définir LA fonction racine.
Bonsoir,
Pour a), utilise la forme trigonométrique de z : si z=r.exp(ia), alors tu as deux valeurs possibles pour z :
r.exp(ia/2)
r.exp(i.(a/2 + 
))
La "fonction" z -> z est donc multivoque, ce n'est pas une "application" au sens propre.
Pour b), sans avoir fait le calcul, je suppose que malgré l'ambiguïté ci-dessus, le calcul de f(z) en prenant l'une ou l'autre des déterminations de a) conduit au même résultat, ce qui permet bien de de parler de "fonction" pour z -> f(z). Je te laisse vérifier...