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Applications linéaires

Posté par Nath63 (invité) 30-07-04 à 16:59

Salut !

Un petit exo sur les applications linéaires, noté bien évidemment
J'ai compris ce qu'on me demande mais j'aimerais savoir si ma
réponse est juste.
L'énonce me pose problème seulement pour deux questions qui sont  liées je
pense.
Merci de votre aide même si on est en trève estivale...

Exercice [b][/b][i][/i][/u]

On considère l'espace vectoriel R3 d la base canonique B=( ,
, .
Soient vecteur e1, vecteur e2, vecteur e3 les 3 vecteurs de R3 définis par
:
e1= (0.1.1)
e2=(1.0.1)
e3=(1.1.0)

1) 1.montrer que (e1,e2;e3) est une base B' de R3

Ma réponse [u]


Dans R3, les élèments sont des triplets (, ,
de réels.

Base canonique de R3: soient les 3 vecteurs e1;e2,e3.

On dit que les vecteurs e1,e2,e3 est la base canonique de R3
Tout vecteur de s'écrit de manière unique dans la
base (e1,e2,e3).

= x1*e1+x2*e2+x3*e3
x1,x2,x3 sont les coordonées vecteur dans la base (e1,e2,e3)

Alors pour démontrer qu'un systeme de 3 vecteurs forment une base
il suffit que le déterminant formé par les 3 vecteurs soit différent
de 0.

Par conséquent, je trouve que le déterminant est de 2 donc c'est
un systeme libre et donc c'est une base R3.

C'est bon ou pas ?

1)1.2 Exprimer les vecteurs e1,e2,e3 e fonction des vecteurs ,
,
1)1.3 Exprimer les vecteurs , ,

Je comprends pas comment on fait ici; en fait le mot 'en fonction
de ' me géne, alors une tite réponse ou coup de pouce

2) On considére l'application linéaire f de R3 définie par :

f( = 2 +
f( = - + 3 +
f(= -

Quelle est la matrice M dans f dans la base B ?

Ma réponse :[u][/u]

Rappel de f(i), f(j) et f(k)
Les colonnes de M réprésentent les coordonnées de F(e1) F(e2) et F(e3)
dans la base (e1;e2,e3) donc :
2     1      0 ===>
-1    3      1===>M
1      -1     0===>

Voilà j'espère avoir été clair dans mon énoncé.
Merci
Bon courage
A+
Nathalie

Posté par Nath63 (invité)re : Applications linéaires 30-07-04 à 17:03

J'ai oublié quelque chose !
Pour la question 1.3 :[u][/u]

Exprimer les vecteurs ,,
en fonction de e1,e2,e3

Excusez moi pour cet oubli
A+
Nathalie

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 30-07-04 à 17:29

bonjour,
pour ce qui est de "en fonction de ", je peux essayer de t'expliquer.
par exemple, y=2*x+1
je viens d'écrire y en fonction de x.
par contre, si j'avais écris x=(y-1)/2
alors ici j'ai écrit x en fonction de y.
conclusion: écrire une inconnue a "en fonction de" une autre inconnue (ou plusieurs),
c'est de trouver une relation qui lie ces 2 inconnues de sorte
que la première, a, est isolée dans un seul membre. As-tu omprise?

pour ce qui est de savoir si (e1,e2,e3) forment une base, tu peux en effet
vérifier que le déterminant est non nul.

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 30-07-04 à 17:32

excuse moi, mais pour ta dernière question, on te demande bien la
matrice de f dans B, pas dans B'?

Posté par Nath63 (invité)re : Applications linéaires 31-07-04 à 15:52

salut mu !

bon je vais essayer de comprendre pour le 'en fonction de'
mais j'ai jamais été à l'aise sur ce type de questions
!!!
oui on me demande bien la matrice de f dans la base B.
Merci
A+
Nathalie

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 31-07-04 à 17:48

bonjour,
pour cette expression: 'en fonction de', je pense que tu en
as fait une montagne et donc tu t'es restée coïncée dessus,
sans vouloir d'agresser. Je pense que tu devrais enlever de
ton esprit que c'est inconpréhensible, si je peux me permettre
un avis (surtout ne t'offusque pas, je ne veux pas être méchante
)

pour cette dernière question,
je ne comprends pas pourquoi tu as écrit ceci:
"Rappel de f(i), f(j) et f(k)
Les colonnes de M réprésentent les coordonnées de F(e1) F(e2) et F(e3)
dans la base (e1;e2,e3) donc : "

sachant que nous somme dans la base B=( ,
, )

d'autre part, tu as fait une petite erreur sur la 3ème ligne de ta matrice:

(2 1 0 )
(-1 3 1 )==>M
(0 1 -1 )

Posté par Nath63 (invité)re : Applications linéaires 03-08-04 à 16:29

Salut !

Mu, peux tu m'expliquer en quoi consiste mon erreur dans le cacul
de la matrice car là je vois pas...
Non ne t'inquiètes pas, je l'ai pas mal pris ce que tu as dis
plus haut mais je t'assure que ce genre de question, j'ai
jamais vraiment compris.
J'ai cherché mais j'arrive pas à une bonne réponse car si je pars
sur la réponse que je pense qui est mauvaise car trop simple.
Si on veux exprimer les vecteurs e1,e2,e3 en fonction de i, j,k et inversement
exprimer i, j,k en fonction de e1,e2,e3, je tourne en rond.
Peux tu m'expliquer pour un vecteur e1 en fonction de i et un vecteur
i en fonction de e1 stp ? après ta réponse j'appliquerais la
méthode aux autres.
Je te remercie
A+
Nathalie

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 03-08-04 à 16:55

bonjour Nath63,
les coordonnées de e1 sont (0 1 1), d'accord?
qu'est ce que cela veut dire?

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 03-08-04 à 17:33

excuse moi, j'avais oublier ta 1ère question (qui a mon avis
est lié avec ton problème d'incompréhension de l'expression
"en fonction de").
comment traduit on une matrice?
f( )= M (
)
cette équation permet d'écrire la 1ère ligne de ta matrice.

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 03-08-04 à 17:58

excuse moi, mais ce n'est pas une ligne après la matrice M,
mais une colonne.
désolée.

Posté par Nath63 (invité)re : Applications linéaires 03-08-04 à 22:42

Bonsoir mu

Je pense que tu as raison pour mon pb de compréhension.
Sinon tu veux dire que les coordonnées de e1 sont (0.1.1) donc si on exprime
e1 en fonction de i;j;k ca veut dire que vecteur i=0 puis vecteur
j=1 et vecteur k=1 ?? oui ?? non ??
Pour la traduction de la matrice, je pense savoir ce que tu veux dire
car je débute seulement dans les matrices..
Enfin, je vais travailler tout ça demain.
Merci et à+ pour la suite qd j'aurais tout compris
Nathalie

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 03-08-04 à 22:43

honte à moi, j'ai fait une enorme erreur sur la matrice, vraiment
désolée. Je impardonable
oublies tout ce que j'ai écris sur ce point s'il te plait.
on a:
f(i)=2i+j
f(j)=-i+3j+k
f(k)=j-k
M peut s'écrire sous cette forme:
M=(a b c)
(e f g)
(h i j)
on a donc:
f(i)=M*i avec i en colonne (1 0 0 )
f(j)=M*j avec j en colonne (0 1 0 )
f(k)=M*k avec k en colonne (0 0 1)
en identifiant tu devrais obtenir
M=( 2 -1 0)
(1 3 1)
(0 1 -1)
encore désolée des ernomité d'avant
si tu n'as pas compris, n'hésite pas.

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 03-08-04 à 22:46

en effet,
donc tu écris
e1=0*i+1*j+1*k
e1=j+k
on viens écrire e1 en fonction de i, j ,k.
Pas très compliquer, non?

Posté par Nath63 (invité)re : Applications linéaires 04-08-04 à 16:50

CouCou mu !

Je te remercie de ton aide, je pense avoir compris, ce que je vais faire,
c'est que lorsque j'aurais terminé les calculs , je te
les envois et tu me diras si c'est juste stp
Pour le calcul de la matrice, j'avais donc juste mais l'erreur
est humaine, je vais pas te faire une remarque si tu as fais une
erreur car tu prends beaucoup de temps pour nous aider alors je vais
pas te faire une crise pour ça, ça peut arriver à tout le monde ...

Je te dis à +
Nathalie

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 04-08-04 à 17:05

bonjour Nathalie,
pour ce qui est de la matrice, ceci n'empèche pas que lors de ton
premier message, elle était fausse.

Posté par Nath63 (invité)re : Applications linéaires 04-08-04 à 17:10

Re !

Oki c'est noté.

Voici les premiers résultats pour les calculs de e1.e2.e3 en fonction de
i;j;k.

E1= j+k
E2=i+k
E3= i+j

En ce qui concerne exprimer i;j;k en fonction de e1.e2.e3 , faut jouer
avec quel nombre, un exemple et après ce sera bon.

Pour la matrice ; oui , elle m'a posé du soucis mais je vais la reprendre
à tête réposée

Merci
A+
Nathalie

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 04-08-04 à 17:18

bien, tu as tout compris pour ceux qui est des vecteurs e1, e2, e3.
maintenant que tu as e1, e2, e3 en fonction de i, j et k, tu dois additionner
ou soustraire e1, e2 et e3 pour isoler i sans avoir j et k, puis
fais la même chose pour j et k .

Posté par Nath63 (invité)re : Applications linéaires 04-08-04 à 23:05

Bonsoir mu

J'ai enfin compris comment tu avais fais pour le calcul de la matrice
M mais j'ai un soucis sur un point. Si tu pouvais me réepliquer,
ce serait gentil .
Ca concerne le point suivant :

M peut s'écrire sous cette forme:
M=(a  b  c)
       (e  f  g)
       (h  i  j)
on a donc:
f(i)=M*i avec i en colonne (1 0 0 )
f(j)=M*j avec j en colonne (0 1 0 )
f(k)=M*k avec k en colonne (0 0 1)

J'ai compris pour la forme mais ce qui coince c'est quand tu dis
que i en colonne donne 1.0.0 puis j donne 0.1.0 et k donne 0.0.1
...

Pour la question de tout à  l heure je travaille ça et je te donne mes
réponses
Encore merci et j'espère ne pas trop t'embêter
A+
Nathalie

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 05-08-04 à 09:46

bonjour,
tu ne m'ennuies pas du tout.
quand j'ai écris i, j, k avec leurs coordonnées, c'était dans
la base B=(i, j, k), car c'est dans celle ci qu'on veut
M.
dans cette base, i a bien pour coordonnées:
(1)
(0)
(0)
de même pour j et k.
as tu compris?

Posté par Nath63 (invité)re : Applications linéaires 05-08-04 à 14:47

Bonjour mu !


Sans vouloir faire ma mauvaise tête bah là je comprends plus rien.
Comment trouves tu ces coordonnnées de i ?

En ce qui concerne la matrice M, j'ai compris que tu prenais :
f(i)=2i+j
f(j)=-i+3j+k
f(k)=j-k

Il faut donc prendre les valeurs sous la forme de colonne donc
M=( 2 1 0 )
      (1   3   1)
     (0     1  -1)

On trouve une valeur différente toi et moi c'est au niveau de la
1ere ligne avec j qui est positif qd on prends (fi)=2i+j

Pour la question  où il faut exprimer i;j;k en fonction de e1,e2,e3, tu
voudrais pas me donner l'exemple pour vecteur i ? car je vois
pas là..


Excuse moi encore ...
A+
Nathalie


Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 05-08-04 à 15:35

prenons dans l'ordre des questions
on a:
e1=j+k
e2=i+k
e3=i+j
pour trouver i, tu dois additionner ou soustraire ces 3 équations pour
que dans le 2ème membre, tu n'as que i (sans j et k).
je ne veux pas te le donner, car tu comprendra mieux si c'est toi
qui le fais.

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 05-08-04 à 15:42

j'ai une question à te poser: que signifie pour toi écrire i
dans la base B=(i,j,k)?

Posté par Nath63 (invité)re : Applications linéaires 05-08-04 à 16:18

re mu !

Pour ce qui concerne d'écrire i dans la base B (i;j;k) consiste à
dire que i est un vecteur de la base B et ce vecteur s'écrit
de maniere unique de sorte que vecteur i = x1*e1+x2*e2+x3*e3+xn*en
et qui correspondent a ses coordonnées dans la base.

Voilà
A+

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 05-08-04 à 16:35

non pas du tout, déjà c'est quoi en?
d'autre part, si tu enlève en, tu viens d'écrire i dans la base B'=(e1,e2,e3)
mais i dans la base B=(i,j,k) s'écrit de cette forme:
i=x1*i+x2*j+x3*k
donc x1=1 (normal, non?)
x2=0
x3=0

Posté par Nath63 (invité)re : Applications linéaires 05-08-04 à 16:45

Re mu

Pour "en" en fait j'ai mal expliqué ma formule mais bon ç'est
pas grave.
Oui en effet, quand tu dis "si tu enlève en, tu viens d'écrire
i dans la base B'=(e1,e2,e3) " c'est ce qui est demandé
dans la 1ere question qd on me demande de démontrer que e1.e2.e3
est une base B' de R3

Merci
A+

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 06-08-04 à 13:38

bonjour Nath,
tu as écrit dans un de tes messages:
>Il faut donc prendre les valeurs sous la forme de colonne donc
M=( 2 1 0 )
(1 3 1)
(0 1 -1)

On trouve une valeur différente toi et moi c'est au niveau de la
1ere ligne avec j qui est positif qd on prends (fi)=2i+j
<
je tiens à te préciser qu'il ne faut pas voir ta matrice en ligne,
mais en colonne.
et donc c'est dans ta 2ème colonne qu'il y a une faute
ceci vient de :
f(j)=-i+3j+k

pourquoi en colonne?
f(j)=M*j
et M=(a b c)
(d e f)
(g h l)
es tu d'accord?
donc:
comme f(j)=-i+3j+k
f(j) a pour coordonnées dans B:
(-1)
( 3)
( 1)
et en faisant le produit M*j, on a:
(b)
(e)
(h)
d'où par égalité:
M=
(a -1 c)
(d 3 f)
(g 1 l)
est ce que tu as compris?

Posté par Nath63 (invité)re : Applications linéaires 06-08-04 à 20:00

Bonsoir mu

J'ai compris pour la matrice car en fait c'etait un pb de lecture
que j'avais eu ..

Pour en revenir toujours à la même question que j'arrive pas à traiter,
jy reviens.

Il faut exprimer i;j;k en fonction des vecteurs e1,e2,e3.

On sait que :
e1(0.1.1)
e2(1.0.1)
e3(1.1.0)

On sait que :
e1 en fonction de i;j;k donne j+k
e2 en fonction de i,j;k donne i+k
e3 en fonction de i;j;k donne i+j

Tu m'as dis qu'il fallait additionner ou soustraire ces 3
équations pour isoler i sans avoir j  et k et faire la même chose
pour j et k.

Pour les équations,il s'agit bien de j+k , i+k et i+j
Je remarque que i,j;j sont présents dans l'une de chaque équation
Maintenant ma question car je comprends toujours pas
faut t il que je prenne les valeurs de e1(0.1.1) e2(1.0.1) et e3(1.1.0)
pour résoudre la question ?
Vraiment expliques moi ou juste un exemple pour que je puisse comprendre car
j'ai chercher mais j'arrive pas a un resultat concret.
Si une autre me parvient pdt le we , je te le dis
Merci et bon we mu
A+
Nathalie

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 06-08-04 à 23:22

je crois que tu n'as pas l'air de comprendre que écrire
e1sous la forme de coordonnées dans la base B, c'est à dire
(0 1 1), revient à écrire l'équation:
e1=j+k
pour ce qui est de ta recherche, prends par exemple e2 et e3, on a alors:
e2+e3=2i+j+k
ou
e2-e3=-j+k
maintenant, essaie de regarder avec ces 2 équations si il n'y a pas moyen
de neutraliser j et k à l'aide de l'équation:
e1=j+k
(là, vraiment, je t'ai pratiquement donner la réponse, donc je pense
que tu devrais y arriver)
fais de même pour trouver j et k (tu peux t'aider des 2 équations
que je viens de te montrer:
e2+e3 et
e2-e3)
courage, et s'il te plait ne t'arrache pas les cheveux ,
car c'est en peinant qu'on n'y arrive.

Posté par Nath63 (invité)re : Applications linéaires 07-08-04 à 15:51

Bonjour mu !


Oui tu as compris que j'avais du mal à comprendre pour les coordonnées
!!!

Euhhh oui je crois que j'ai compris la réponse pour ma solution ;
en fait j'avais pensé à ça sur un brouillon mais je pensais
que c'était trop simple pour être vrai donc je vais relire ton
message et tout vérifier.

Je te remercie

A+
Nathalie

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 07-08-04 à 17:43

bonjour Nath,
les maths ne sont pas toujours compliqués , et de toutes façon c'est
une histoire d'opinion.

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 07-08-04 à 18:50

re,
l'important dans les coordonnées, c'est la base où on se trouve.
par exemple:
dans la base B=(i,j,k),
e1 s'écrit sous forme de coordonnées
(0 1 1)
c'est à dire e1=j+k

par contre dans la base B'=(e1,e2,e3),
e1 a pour coordonnées
(1 0 0)
c'est à dire e1=e1

est ce que ceci t'éclair?

Posté par Nath63 (invité)re : Applications linéaires 09-08-04 à 10:29

BVonour mu !


Merci pour tes conseils ! Oui les maths c'est une histoire d'opinion
hihi

Voilà mes résultats , est ce que c'est ça ?

Alors :

i en fonction de e1.e2.e3  soit i = e3-e2
j en fonction de e1.e2.e3  soit j= e3-e1
k en fonction de e1.e2.e3 soit k = e1-e2

Une dernière question, en ce qui concerne comment je dois démontrer que(e1.e2e.3)
est une base B' de R3?
Je pense savoir ce que je dois dire mais dis moi, je peux peut etre
reprendre certains élèments de réponses cités dans les autres messages
non ?

Merci
A+
Nathalie

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 09-08-04 à 12:38

bonjour Nath63,
je vais d'abord répondre à ta question sur la démonstration de
la 1ère question, je ne vois pas trop quel message tu veux faire
intervenir, mais le fait de montrer que le déterminant est non nul
devrait suffire à mon avis.

pour ce qui est des écriture de i,j,k:
reprennons:
e1=j+k
e2=i+k
e3=i+j
je trouve en faisant:
e3-e2=j-k i
es tu d'accord?
part contre calcul ceci:
e2+e3-e1=?

Posté par Nath63 (invité)re : Applications linéaires 09-08-04 à 14:44

Re mu !

Oui je suis ok pour e3-e2 =j-k#i
il faut donc utiliser e1,e2 et e3 pour exprimer i,j,k

e2+e3-e1 = i

Alors :

e3+e1-e2 =j
e1+e2-e3 =k

Est ce ça ?

Pour la 1ere question , je vais montrer que le déterminant est non nul
car il est #0, je trouve 2

Merci (pour ta patience )
A+
Nathalie

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 09-08-04 à 14:54

non,
e2+e3-e1=2*i
de même pour les 2 autres

(s'il est non nul, il est différent de 0 )

je suis la pour ça (aider les autres, c'est mon but 1er)

Posté par Nath63 (invité)re : Applications linéaires 09-08-04 à 15:11

J'ai compris pour le vecteur i; cependant je comprends pas pourquoi
c'est faut pour j et k.

J'ai repris dans mes calculs  e2+e3 ainsi que e2-e3 et e1

En ce qui concerne ton calcul e2+e3-e1 = 2i ? pourquoi 2*i
Le détail du calcul est bien 2i+j+k-j-k = 2*i
e2=i+k
e3=i+j
e1=j+k
donc i+k+i+j-j-k = 2i

Pourquoi ma réponse est fausse ?

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 09-08-04 à 15:14

tu as écrit
e2+e3-e1=i
il est passé où le 2?

Posté par Nath63 (invité)re : Applications linéaires 09-08-04 à 15:21

Oups j'ai dérapé à quelques part mais où ? telle est la question..
Grr j'arrive plus à avancer là LoL
A+

Posté par Nath63 (invité)re : Applications linéaires 09-08-04 à 15:46

Re mu !

Donc si on trouve 2*i cela revient bien à i/i donc i ?

Pour mes calculs de j et k ; j'ai essayé de faire comme tu m'as
dis mais je comprends pas où est  ma faute ! faut que je trouve 2*j
et 2*k aux autres ?

Je rame là
A+

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 09-08-04 à 15:54

houlala,
2*i=i+i
ici, on a:
i=(e2+e3-e1)/2
je viens d'écrire i en fonction de e1, e2, e3
(dis moi que tu es fatiguée, s'il te plaît, parce que là tu me fais
peur)
pour j et k, on a:
e1+e3-e2
=j+k+i+j-i-k
=2*j
donc
j=(e1+e3-e2)/2

e1+e2-e3
=j+k+i+k-i-j
=2*k
donc
k=(e1+e2-e3)/2

est ce que là tu as compris?

Posté par Nath63 (invité)re : Applications linéaires 09-08-04 à 16:58

oui mu c'est la fatigue de la chaleur qui me fait ça car
en général  faut m'expliquer longtemps mais 40 messages là,
piouffff !!!
Je voulais pas te faire peur loin de là  
ÔUI  j'ai compris !!! j'avais juste un pb de manipulation des
valeurs...et en fait le bout de chemin montrait son nez mais j'avais
po encore récupéré tout les cailloux...
MERCI mu !!
Je te laisse respirer maintenant..
A+ sur
Nathalie

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 09-08-04 à 19:08

ce n'est rien, ce qui m'a fait peur, c'est quand tu
as écrit que
>Donc si on trouve 2*i cela revient bien à i/i donc i

mais ce n'est rien, j'espère que tu n'as pas cru que j'était
énervée, parce que je n'étais absolument pas énervée.

@+
je t'aiderai une autre fois, j'espère

Posté par Nath63 (invité)Merci Muriel 26-08-04 à 14:42

Bonjour Muriel

Je te remercie pour ton aide sur les applications linéaires, je viens d'avoir le résultat de mon devoir, et grâce à toi, j'ai eu........ 20

Merci Muriel

A+
Nathalie

*** message déplacé ***

Posté par
muriel Correcteur
re : Applications linéaires 26-08-04 à 17:20

bonjour Nath63,
l'essentiel, c'est que tu as compris ce que tu as fait, car dans ce cas, cette note te revient à 100% (je n'ai fait que te guider sur le chemin du résultat.
merci pour m'avoir donné cet information, ça me fait plaisir pour toi.
@+
Muriel

Posté par Nath63 (invité)re : Applications linéaires 26-08-04 à 22:36

Bonsoir Muriel

Oui je sais que tu as fais que me guider pour mon devoir mais tu m'as permis de mieux comprendre le sujet.. en plus j'ai remarqué que dans un devoir futur, un énoncé est étrangement ressemblant à celui que nous avons travaillés alors

Encore merci



A+
Bon courage à toi Muriel
Nathalie



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