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Applications lineaires
Posté par barka54
Bonsoir,
J'ai besoin de votre aide pour traiter un exercice dont l'énoncé est le suivant:
E est un espace vectoriel muni d'une base (i;j;k) en vecteurs. Soit f l'endomorphisme de E défini par ;
.
1) Déterminer kerf.
2) Déterminer une base de Im f.
3) Démontrer que tout vecteur de E s'écrit de manière unique comme somme d'un vecteur de kerf et d'un vecteur de Im f.
4-a) Démontrer que f°f=f.
b) Démontrer que pour tout vecteur u de Imf, f(u)=u. en vecteurs.
c) En déduire la nature et les élements caractéristiques de f.
Mon début
1)Le kerf est l'ensemble des vecteurs de E dont l'image par f est le vecteur nul :
f(u)=0 pour u=xi+yj+zk on peut écrire:
f(xi+yj+zk)=0i+0j+0k; f étant linéaire,
xf(i)+yf(j)+zf(k)=0i+0j+0k
<=>
xi+(y/2+z/2)j+(y/2+z/2)k=0i+0j+0k
Donc : x=0 ; y+z=0 leur somme me donne
x+y+z=0 ,=> kerf est un plan vectoriel dont les vecteurs (-1;1;0) et (-1;0;1) en définissent une base.
2) Imf est définie pour tout vecteur u(x,y,z) de E: f(u)=u' ; avec u'=(x',y',z') image de u par f. Ainsi, je trouve les équations:
x=x'; y/2+z/2=y' et y/2+z/2=z'
la difference des deux dernière donne:
y'-z'=0 => y'=z' sans oublier que x=x' mais je sais pas comment en déduire base avec un tel système...
Bonjour
attention, en additionnant les deux équations x = 0, y+z=0, tu perds de l'information !
si bien qu'aucun des deux vecteurs que tu proposes comme base de Ker f n'est dans Ker f, puisqu'aucun ne vérifie x = 0 ...
si on a x = 0 et y + z = 0, on a x = 0 et y = -z : xi + yj+ zk devient -zj + zk = -z(j-k) : tu n'as pas un plan mais une droite, de vecteur directeur j-k
Bonjour,
pourquoi écrivez-vous la somme " x+y+z=0 ,? les les vecteurs (-1;1;0) et (-1;0;1) en définissent une base "?!
pour la question 1) vous écrivez x=0 ; y+z=0 qui sont les conditions pour lesquelles u(x,y,z) appartient à kerf ( je suis d'accord ). Cela donne x=0 et z=-y. Les vecteurs de kerf sont de la forme (0,y,-y)=y(0,1,-1) et (0,1,-1) est la base de kerf. il y a un vecteur donc dim kerf=1
question 2)
ok pour x=x',y'=z', les vecteurs de imf sont de la forme (x,y',y')=x(1,0,0)+y'(0,1,1).
(1,0,0)et (0,1,1) forment une base de Imf, il y a deux vecteurs donc dim imf=2
okay je vois...
pour le cas de Imf , x'=x et y'=z' 'donc
(x,y,z) devient x'i+z'j+z'k=(x';0;0)+(0;z';z')=x'(1;0;0)+z'(0;1;1) ?
3) soient u un vecteur de kerf , v un vecteur de Imf et w celui de E. je dois donc montrer la relation w=au+bv en cherchant les réels a et b?
w(x,y,z) de E
u(0,y1,-y1) de kerf
v(x2,y2,y2) de Imf
w=au+bv vous donne un système :.
x=b.x2
y=a.y1+by2
z=a.y1-by2
De la premiere equation, b=x/x2.
la somme des deux dernieres equations conduit a' y+z=2ay1 => a=(y+z)/2y1
De la premiere equation, b=x/x2. => vrai si x2 différent de 0
la somme des deux dernieres equations conduit à y+z=2ay1 => a=(y+z)/2y1 => vrai si y1 différent de 0
4.a) Pour montrer que f°f=f ,
je fais le produit de la matrice de f par elle même et voir ce que ça donne...
Mais je n'arrive à montrer que pour tout u de Imf <=> f(u)=u
j'ai essayé d'écrire la matrice de f dans la base de Imf déterminée mais hélas...
si u appartient à Imf alors u s'écrit de la manière suivante : u = xi+yj+yk
f(u)=f(xi+yj+yk)=xi+(y/2+y/2)j+(y/2+y/2)k=xi+yj+yk=u
super ...
c) On conclut donc que f est une projection de base Imf et de direction Kerf;
Merci beaucoup à vous!
barka54la matrice de f correspond c'est quoi stp car je trouve M mais lorsque je fais M*M c'est différent de M