La distance entre |p(u)| entre O et p(u) est l'un des côtés d'un triangle rectangle d'hypoténuse |u|.
Si tu appelles \theta l'angle entre et et celui entre et (c'est à dire ),

tu as



et bien-sûr, .

La difficulté est le choix de l'intervalle pour . Si tu es dans c'est simplement , mais attention aux cas où u est horizontal ou vertical

Bonsoir et merci pour votre réponse.

J'ai du mal à comprendre ce qu'on obtient  avec votre réponse, sachant que la question suivant est :  Déterminer A = M_B(P).

En fait, cela ressemble très peu aux exercices que j'ai fais précédemment sur les applications linéaires. Je n'arrive pas à trouver comment exprimer P dans la base. La méthode que vous avez envoyé,  je ne vois pas comment on peut retrouver une expression analytique, utilisable pour la question suivante par exemple.

salut
avec u(x,y)
posons P(x,y)=(xo,yo) la projection orthogonale du vecteur v(x,y) sur la droite D d'équation  y=x  , comme (xo,yo) appartient à D alors  xo=yo.
on aussi  u - P(u) appartient à la droite  y=-x   soit  (xo- x , yo -y) appartient à y=-x
on a donc  yo- y = -xo+x  soit  
ensuite c'est tout simple il suffit d'obtenir  P(x,y) = (xo,yo)   grace à
yo- y = -xo+x
xo=yo.
a toi d'exprimer xo en fonction de x et y et aussi yo en fonction de x et y et tu obtiendra
l'expression de P(x,y) en fonction de x et y

yo- y = -xo+x
xo=yo.