Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour une question s'il vous plaît.
Je dois montrer que la réunion des bases de Im(f) et de Ker(f) donne une base de R^n. Sachant que on a :
f ((x1 (x1 + x2 + 2xn
. = x1 + xn
. .
xn)) .
x1 + xn)
Et que j'ai calculé une base de Im(f) et de Ker(f) dans les questions précédentes. Pourriez-vous me donner un petit coup de pouce car je ne vois pas où aller ?
Merci d'avance.
Bonjour,
Comme ça ?
Pour montrer que la réunion des bases de et de donne une base de , tu dois prouver que :
1) Les vecteurs dans cette réunion engendrent , c'est-à-dire que tout vecteur de peut être écrit comme une combinaison linéaire de ces vecteurs.
2) Cette réunion est linéairement indépendante, c'est-à-dire que la seule combinaison linéaire des vecteurs qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont nuls.
Si tu as calculé une base de et de dans les questions précédentes. Supposons que est une base de et est une base de .
Pour prouver que la réunion de et engendre , tu dois montrer que tout vecteur peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs dans .
En effet, comme est une base de , pour tout , il existe un vecteur tel que . On peut alors écrire comme une combinaison linéaire de :
Ainsi,
Comme est une base de , pour tout , on peut l'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs dans .
Ainsi, tout vecteur peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs dans . Par conséquent, engendre .
Maintenant, pour montrer que la réunion de et est linéairement indépendante, tu dois prouver que la seule combinaison linéaire des vecteurs dans qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont nuls.
Soit des scalaires tels que
Comme et sont des bases, tout vecteur dans peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs dans , et tout vecteur dans peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs dans . Ainsi, la condition ci-dessus peut être réécrite comme :
Puisque et sont des espaces vectoriels distincts, cela implique que tous les coefficients et sont nuls. En effet, si un coefficient était non nul, alors , ce qui signifierait que est dans , ce qui est impossible car c'est le vecteur nul.
De même, si un coefficient était non nul, alors , ce qui signifierait que est dans , ce qui est impossible car c'est le vecteur nul.
Ainsi, tous les coefficients et sont nuls, ce qui montre que est linéairement indépendante.
Enfin, pour montrer que engendre , notez que tout vecteur peut être écrit comme la somme , où est dans et est dans . Puisque est une base de et est une base de , il existe des scalaires et tels que :
et
Ainsi,
Cela montre que tout vecteur de peut être écrit comme une combinaison linéaire de vecteurs dans , ce qui montre que engendre .
Ainsi, est une base de , comme souhaité.
salut
matheux14 : pourquoi faire l'exercice à la place de cracotte06 ?
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