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Niveau Maths sup
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Applications (prépa PCSI)

Posté par Yaya13 (invité) 28-10-04 à 10:41

J'ai cet exrcice à faire mais j'ai beaucoup de difficultées. Si vous pouviez m'aider je vous en serez reconnaissante. Merci d'avance.

On considère un ensemble E et A et B deux parties de E
On considère alors f: P(E)----> P(A) x P(B)
                        X ---->(A"inter"X ;B"inter"X)

ds cet question on veut montrer que
f surjective <--> A "inter" B = "ensemble vide"

a) on suppose que f est surjective
en considérant un antécédant pour (A"inter"B;"ensemble vide") montrer que A"inter"B = "ensemble vide"

b) on suppose maintenant que A "inter" B = "ensemble vide"
monter que f est surjective


Posté par
Victor
re : Applications (prépa PCSI) 28-10-04 à 11:04

f étant supposée surjective, si on considère un élément (Y;Z) de P(A) x P(B), il existe au moins un antécédent dans P(E).

Soit X un antécédent de (A B, )
On a donc AB = AX de plus BX=.
Raisonnons par l'absurde :
on suppose qu'il existe x un élément de AB. x appartient donc à A et à B or d'après AB = AX, x appartient aussi à X.
Donc x appartient à B et à X, donc à BX, ce qui contredit le fait que BX=
Voilà pour le a).


Posté par
Victor
re : Applications (prépa PCSI) 28-10-04 à 11:06

b) Soit (Y;Z) un élément de P(A) x P(B).
Soit X=Y U Z.
On vérifie facilement que :
f(X)=(A X;BX)=(Y;Z)

@+

Posté par Yaya13 (invité)re : Applications (prépa PCSI) 28-10-04 à 16:05

Merci bcp pour ton aide!!!



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