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Appliquer le codage de Hill
Bonjour,
J'ai un exercice à faire sur le codage de Hill mais je ne trouves pas la solution, le voici:
Partie A:
A et b désignent des nombres entiers relatifs
M=(a b)
(5 3)
1)a)Exprimez le déterminant de la matrice M en fonction de a et b
Det(M) =a*d-b*c
=3*a-5*b
b) On suppose que 3*a-5*b != 0
Justifier que la matrice M est inversible et exprimer M-1 en fonction de a et b.
Une matrice carrée est inversible SSI son déterminant en l'occurrence Det(M) est non nul. Ici on le suppose alors M est inversible
M-1=(1/Det(M))*(d -b)
(-c a)
=(1/3a-5b))*(3 -b)
(-5 a)
2) On considère l'equation E:
Det(M) =3 On se propose de déterminer tous les couples (a;b) d'entiers relatifs solution de E
a) Vérifier que le couple (6;3) est une solution de E
Det(M) =3
3a-5b=3
(3*6)-(5*3)=3
3=3
Le couple (6;3) est une solution de E
b) Montrer que le couplé (a;b) d'entiers relatifs est solution de E SSI 3(a-6)=5(b-3)
3a-18=5b-15
-5b+3a=3
Or Det(M) =5b+3a
D'où le couple (a;b) est solution de E
c) En déduire l'ensemble des solutions de E
Je ne vois pas comment faire
Merci de votre réponse
Oui il manque une ligne pour le 2)a)
Mais je n'est toujours pas compris le reste, non 3 ne divide pas 5 et vice versa mais je ne voit pas comment exploiter cette information
si 3(a - 6) = 5(b - 3) alors par définition 5(b - 3) est multiple de 3 ou encore 3 divise 5(b - 3)
mais 3 ne divise pas 5 donc ... ?
et pour 2a/ ce n'est pas le pb qu'il manque une ligne : quand on veut montrer que a = b on ne commence pas par a = b ...
Bonsoir,
je me demande , encore une fois, ce qu'un élève de terminale est censé savoir à ce moment de l'année.
il est toujours difficile de savoir, les progressions n'étant pas identiques ...
mais il est étonnant de parler de congruence alors que ce n'est qu'un pb de divisibilité ... et de réflexion ...
Ducoup j'ai rédigé le 2)c)
On a :
3(a-6)=5(b-3)
3 et 5 sont premier entre eux
D'où 3 divise (b-3)
De même 5 divisé (a-6)
Alors:
(b-3)=3k
(a-6)=5k'
Reciproquement:
3(a-6)=5(b-3)
3*5k'=5*3k
15k'=15k
k'=k
D'où a=6+5k et b=3+3k
Maintenant il y a la partie B de mon exercice ou j'ai quelques difficultés.
1) On donne Q=(6 3)
(5 3)
Determiner Q-1
Det(Q)=ad-bc
=6*3-3*5
=3
On a Det(Q) !=0
D'où Q est inversible
Q-1=(1/3)*(3 -3)
(-5 6)
Q-1=(1 -1)
((-5/3) (6/3))
2) Codage
(Avec A=0;B=1;C=2...)
X=(x1) ( x1, x2 lettre dans l'alphabet)
(x2)
Y=QX
R=(r1) (r1, r2 le reste de la division
(r2)
euclidienne de y1, y2 par 26)
Après quatre étapes....
JE-->X=(9) -->Y= (66) -->R=(14) - - >OF
(4). (57) ( 5 )
Coder le mot DO:
DO-->X=(3 ) -->Y= (60) -->R=(8) - - >IF
(14). (57) (5)
3)Procedure de décodage
Lors du décodage la matrice X est transformé en la matrice Y telle que Y=QX
a) Démontrer que 3X=3Q-1Y
On a Y=QX d'où X=Q-1Y
Et 3X=3Q-1Y
Puis que:
{3x1 est congru à 3r1- 3r2 modulo 26
{3x2 est congru à -5r1+6r2 modulo 26
Je ne sais pas comment m'y prendre
b) Démontrer que:
{x1 est congru à r1-r2 modulo 26
{x2 est congru à 7r1+2r2 modulo 26
Ducoup cette question qui découle de celle d'avant non plus
c) Décoder le mot SG
La non plus je ne sais pas
Désoler de la rédaction médiocre mais je ne suis pas tout à fait à l'aise avec l'outil
Merci de votre réponse, dites moi si des choses sont incompréhensible
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