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Approche de e

Posté par fx159 (invité) 22-01-05 à 14:06

Bonjour à tous,j'ai un probleme sur l'approche de l'exponentielle que je n'arrive pas à résoudre.Je mets ci-joint la 2eme et 4ème question:
On se propose d'étudier la fonction f définie sur ]0;+infini[ par f(x)=(1+x)(1/x)
2°) Calculer f'(x).Montrer que lim f=e quand x tend vers 0 et montrer que lim f=1 quand x tend vers +infini.
4°) On considère la suite (un),définie pour n0,par: un=(1+(1/n))n
Etudier le sens de variation de la suite et étudier sa convergence.

Posté par
Belge-FDLEre : Approche de e 22-01-05 à 14:10

Salut, est-ce que tu pourrais retaper à quoi est égale f(x) s'il-te-plaît.

À +

Posté par
Nightmarere : Approche de e 22-01-05 à 14:12

A lire


Jord

Posté par fx159 (invité)re : Approche de e 22-01-05 à 14:12

Alors, f(x)=(1+x)^(1/x)
Voila,je vs remercie d'avance pour votre aide
A+

Posté par
Belge-FDLEre : Approche de e 22-01-05 à 16:19

Re-Salut fx159 ,

Je vais essayer de t'aider de mon mieux :

On se propose d'étudier la fonction f définie sur ]0;+infini[ par :  2$\rm~f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}}.
2) Calculer f'(x).
Montrer que :
2$\rm~\lim_{x\to0^+}~f(x)~=~e~~et~~\lim_{x\to+\infty}~f(x)~=~1

En fait, ici l'astuce réside dans le fait qu'il faut se rendre compte qu'on a en fait :

2$\rm~f(x)~=~e^{ln(x+1)\frac{1}{x}}

En effet, on a bien :
2$\rm~~e^{ln(x+1)\frac{1}{x}}~=~(e^{ln(x+1)})^{\frac{1}{x}}~=~(x+1)^{\frac{1}{x}}

f est dérivable sur 2$\rm~\mathbb{R}^+_* comme composée de fonctions dérivables sur  2$\rm~\mathbb{R}^+_* et on a :

2$\rm~f~=~uo(v.w)~~i.e~~f'=(v.w)'u'o(v.w)=(v'w+w'v)u'o(v.w)

avec  2$\rm~u(x)=e^x~~ie~~u'(x)=e^x
             2$\rm~v(x)=ln(x+1)~~ie~~v'(x)=\frac{1}{x+1}
             2$\rm~w(x)=\frac{1}{x}~~ie~~w'(x)=-\frac{1}{x^2}

ainsi  2$\rm~f'(x)~=~(\frac{1}{x}\times\frac{1}{x}~-~\frac{1}{x^2}ln(x+1))e^{ln(x+1)\frac{1}{x}}
càd  2$\rm~\begin{tabular}{|c|}\hline~f'(x)~=~(\frac{1}{x(x+1)}~-~\frac{ln(x)+1}{x^2})e^{ln(x+1)\frac{1}{x}}\\\hline\end{tabular}

On remarque également qu'il est bien plus simple de calculer les limites avec cette expression de f. On a en effet :

2$\rm~\lim_{x\to0^+}~f(x)~=~\lim_{x\to0^+}[e^{\frac{ln(x+1)}{x}}]

or  2$\rm~\lim_{x\to0^+}~[\frac{ln(x+1)}{x}]~=~\lim_{x\to0^+}~[\frac{ln(x+1)-0}{x}]~=~\lim_{x\to0^+}~[\frac{ln(x+1)-ln(1)}{x}]~=~[ln(1)]'~=~\frac{1}{1}~=~1

ainsi  2$\rm~\begin{tabular}{|c|}\hline~\lim_{x\to0^+}~f(x)~=~e^1~=~e\\\hline\end{tabular}


On a également :

2$\rm~\lim_{x\to+\infty}~f(x)~=~\lim_{x\to+\infty}[e^{\frac{ln(x+1)}{x}}]~=~\lim_{x\to+\infty}[e^{\frac{ln(x(1+\frac{1}{x}))}{x}}]

or  2$\rm~\lim_{x\to+\infty}~(1+\frac{1}{x})~=~1
et  2$\rm~\lim_{x\to+\infty}~\frac{ln(x)}{x}~=~0   (croissances comparées)

ainsi  2$\rm~\begin{tabular}{|c|}\hline~\lim_{x\to+\infty}~f(x)~=~e^0~=~1\\\hline\end{tabular}

Voilà pour la première question . Je réfléchis à la deuxième.
Si tu as une question, n'hésite pas.

À +

Posté par fx159 (invité)re : Approche de e 22-01-05 à 19:49

Je te remercie pour la première question,j'ai bien compris.J'avais pas pensé à modifier f(x) comme cela.
A+

Posté par fx159 (invité)Suite 23-01-05 à 12:16

Bonjour,j'ai un exercice sur la convergence d'une suite.Voici la question:
On considère la suite (un),définie pour n0,par: un=(1+(1/n))^n
Etudier le sens de variation de la suite et étudier sa convergence.
Voila je vous remercie de votre aide.
Bonne journée à ts.



*** message déplacé ***

Posté par fx159 (invité)re : Suite 23-01-05 à 13:13

Je n'arrive tjs pas à résoudre ce probleme,comment fait pr étudier le sens de variation de cette suite
Merci d'avance pr votre réponse.
A+

*** message déplacé ***

Posté par Yalcin (invité)re : Suite 23-01-05 à 13:19

Regards mon deuxième exo : http://aide-classe-sciences.forumactif.com/viewtopic.forum?t=44
ca va t'aider , et pour le sens de variation fait u_(n+1)-u_n si c'est positif c'est que c'est croisssante.
biens ur que c'est + donc c'ets croissante.
La  limite comme tu peux le voir dans deuxième exo que j'ia mis dans mon forum, c'est "e"
Cordialement Yalcin

*** message déplacé ***

Posté par fx159 (invité)re : Suite 23-01-05 à 17:20

Merci de ton aide Yalcin. Il fallait y penser.


*** message déplacé ***


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