bonjour
en fait ton = c'est

dessine une courbe quelconque de fonction derivable en , trace la tangente en regarde les points appeles et sur la tangente en A , tu vois que $y_M\simeq y_P$ donc voilà ton "presque égal ".

ca servait en notre temps.... jeune Borneo par rapport a moi... pour calculer cos(46°) par ex c'est presque en se servant de
j'envoie un dessin "generique "

erreur de } en trop et un 1 en trop

Merci pour vos réponses  

Effectivement, qui dit "approximation", dit

Moi, en 1e C, j'ai surtout des souvenirs de géométrie dans l'espace.

bon ... j'ai mis le temps ...
ensuite  à quoi ça sert à l'heure des calculatrices...
à avoir une idee type calcul mental d'un resultat quand on travaille pres d'un point connu
sans doute que dans le passé ça a servi par ex. à Leonard Euler pour imaginer la courbe de exp par une succssion de segments : comme , il decide de prendre un h petit fixé par ex 0.05
il continue : en P qu'il nomme on a
avec f=exp:
,
il dessine un petit segment parallele à la tangente à la vraie courbe exp en cela donne le point
;

mais comme

il prend

et avec exp f'=f
donc il considere les suites c'est la construction de la courbe approchant celle de exp par la methode d'Euler


Enfin je brode un peu je pense qu'il a fait quelque chose comme ça. avec ton eleve tu peux faire avec f(x)=x^2 et A(1;1)et h=0.05 et  là
moins interessant mais..

Bonjour,

Bonjour,

c'est comme l'ont dit sloreviv et Porcepic à la base de la méthode d'Euler. Théoriquement, on devrait l'utiliser plusieurs fois, mais en pratique on n'a guère le temps que pour exponentielle. Ils le feront aussi en physique.

Et puis c'est quand même le premier développement limité qu'ils rencontrent ! Donc ils peuvent la rencontrer dans un problème de limite un peu construit.

Merci Mariette. J'ai posté un exo là-dessus. Peux-tu me dire si la présentation est correcte ?  

Plus la peine, Camélia vient de me dire que c'est bon.

Merci à tous.

Bonjour,

Quand je dis "dérivée", je dis bien évidemment "tangente à la courbe représentative de la fonction"

Bonjour.

C'est un peu pour ça qu'on introduit la notion de dérivée au départ quand même : pour pouvoir dire que localement, la fonction se comporte comme une application affine ...

Bonjour

c'est à la base de la linéarisation des équations, en physique entre autres.
Quand on veut étudier les petites oscillations d'un pendule, par exemple, on a des équations barbares avec des sinus, et on arrive à une solution approchée en remplaçant sin(u) par son approximation affine u pour des petites valeurs de u ... Les équations linéaires, c'est quand même vachement plus sympa que les équations avec des mélanges de u, sin(u) et j'en passe

et tu ne te rappelles pas bien, borneo, mais à ton époque, tu en as calculé (à la main, forcément) des en utilisant l'approximation affine de la fonction racine au voisinage de 4 ...

écrites tout petit sur un ruban de papier sous la réglette coulissante .... j'en ai connu qui faisaient ça ....

Bonsoir à tous.

Citation :
et tu ne te rappelles pas bien, borneo, mais à ton époque, tu en as calculé (à la main, forcément) des en utilisant l'approximation affine de la fonction racine au voisinage de 4 ...

> verdurin :

On utlisait les approximations classiques faciles à retenir

; ; (à rapprocher avec la première...), et on essayait de s'y rapporter. Voir récemment : Approximation affine de la fonction inverse

On ne sait pas le faire précisément, mais de toute manière, on ne sait rien faire très précisément dès qu'il s'agit de calculer numériquement des valeurs ...

Par contre, on sait très bien estimer l'erreur qu'on a commise ...
Ce qui est amplement suffisant dans tous les cas importants en calcul scientifique et ingénierie, où on a besoin de l'informatique : à partir du moment où l'on sait que la valeur numérique qu'on a trouvé ne diffère de la valeur réelle que d'une erreur fixée à l'avance, on est content !

On sait que pour un assez petit (et on sait estimer comment) on aura une valeur qui est raisonnablement proche de celle espérée.

Et puis, la méthode où on fait tendre epsilon vers 0 permet de démontrer théoriquement l'existence de la fonction exponentielle (existence qui est admise au lycée ...)
Si ça c'est bidon, alors toutes les mathématiques le sont aussi ...

L'élève que j'ai aidé avait 15 exercices sur l'approximation affine à faire dans le week-end. Là, ça frise l'acharnement.

C'est chez ce prof que j'aurais dû envoyer mon "élève préféré"

jamais de devoir maison....

Sauf que pour estimer cet epsilon, il faut encore connaître la fonction exponentielle, savoir que ce e est environ égal à 2,718. Disons qu'une reproduction "acceptable" de la fonction exponentielle par méthode d'Euler se situerait entre les représentations graphiques de 2,70^x et 2,74^x. Sauf qu'on ne connaît pas du tout le nombre e au départ. Et à partir du moment où on est très peu à saisir que pour tout x réel et h qui tend vers 0, f(x+h) environ égal à f(x)(1+h), ça n'a rien à faire là.
Donc, dans les mathématiques que je connais (fort peu, j'en suis conscient), la méthode est complètement bidon et n'a rien à faire là, sauf peut-être pour la connaître (et en faire une compétence exigible de l'élève). C'est comme tout au lycée : on fait quelques petites démonstrations, on admet beaucoup. Mais là, c'est l'une des choses les plus capillotractées (malheureusement pas dans un bon sens) qu'on puisse voir au lycée.

Ne me dis pas que tu es déjà en terminale, Lucas... tu as sauté des classes, ou c'est moi qui ne vois pas le temps passer ?  

Bah si, je suis "déjà" (je suis plus sceptique quant au "déjà" ) en terminale.
D'ailleurs, demain j'ai BAC blanc de philo, et évidemment, on a à peine commencé le programme... Ca va être folklo

Pour réussir en philo, ce n'est pas une question de programme. Il faut montrer qu'on sait réfléchir par soi-même. Pas évident pour les "bons élèves".  

C'est vrai. Et ça se rapproche des maths de ce côté-là.
Le problème étant que je trouve que les maths et la philo sont des matières très ressemblantes. Sauf qu'en maths, je connais la formule "instantanément", il suffit que je lise ou que j'écrive une fois la démo pour la comprendre parfaitement et savoir la refaire sur feuille ; tandis qu'en philo, il faut que j'apprenne un minimum mon cours.

C'est dommage que je n'ai pas réussi à te convaincre de l'utilité de la méthode.
Enfin, je pense que tu as suffisamment de recul sur la question pour pouvoir juger qu'un point du programme est "complètement bidon" et "qu'il n'a rien à faire là".

Bah franchement... Je n'ai peut-être pas beaucoup de recul sur la chose mais suffisamment pour dire qu'elle n'a pas été comprise par la grande majorité des élèves toutes TS comprises de mon lycée. On aurait pu travailler sur la signification de ce e plutôt qu'autre chose dans la méthode d'Euler. Mais bon, tracer 2,5^x, youhou... Après c'est peut-être de la frustration de ma part, j'en conviendrais si c'est le cas, mais il n'empêche qu'on n'a pas pu la construire précisément

Si l'enseignant à traité ça en moins de 5 minutes, c'est sur qu'il est difficile d'appréhender l'intérêt de la chose ...
Il n'empêche que le principe de cette méthode est à la base de toutes les méthodes utilisées en ingénierie pour résoudre numériquement les équations différentielles, et qu'elle peut-être utilisée pour démontrer rigoureusement l'existence de l'exponentielle.

Après, c'est peut-être plus dur de le voir dès la première approche, et je veux bien le croire.
Mais les expressions que tu utilises sont quand même inappropriées je trouve, le vocabulaire français étant assez riche pour pouvoir se passer d'une expression comme "complétement bidon", qui a la même valeur que "complétement nul" ...

Pour cette histoire de "très précisément", je ne sais pas ce que tu attends. Personne ne sait tracer la fonction exponentielle, ni même la fonction racine carrée, très précisément. On sait seulement trouver de bonnes approximations.

L'existence ? En soi j'aurais plutôt dit l'unicité mais soit...

Ensuite, autre que "complètement bidon", il y a "complètement inappropriée pour un élève lambda de terminale". Ca revient un peu à étudier le théorème de Fermat et affirmer qu'il est vrai sur ]2, +[...

Puis comme "très précisément", je ne parle pas d'une précision absolue, qui est impossible à atteindre évidemment... (on n'arrive pas à tracer la fonction carrée avec une précision absolue), mais déjà, tracer 2,72^x serait amplement suffisant, voire même 2,7^x... Sauf que pour faire ça, il faut déjà prendre un pas petit (je dirais pour 2,7^x de l'ordre de 0,01) et forcément certains élèves calculeront f(0,01) puis f(0,02) à n'en pas finir, tout ça pour représenter sur ]-5, 5[ à valeurs dans ]e^-5, e^5[. ^^

Bah on doit à la fois prouver l'existence et l'unicité. L'unicité n'est pas très difficile, en admettant qu'une fonction à dérivée nulle est constante.

Mais il reste quand même à montrer l'existence, c'est-à-dire qu'il existe bien une fonction dérivable telle que et .

Ce qui n'a rien d'évident !

C'est sûr que quand on ne connaît pas la fonction, ça n'a rien d'évident...

Mais quand on l'admet, comme en terminale () sans trop chercher à démontrer son existence mais seulement à l'introduire de cette façon (parce que c'est le programme), la méthode n'a rien d'intéressante. Par contre, pour résoudre des équations différentielles comme par exemple x²f'(x) = 3x^4cos(x/2)f(x), c'est intéressant.

salut

si je peux me permettre :

"autrefois" on voyait la fonction exp comme réciproque de la fonction ln qui elle-même est l'unique primitive de la fonction inverse s'annulant en 1....ce qui est tj au programme (qui date de ...?) de STI

maintenant on le voit .....comme maintenant !! (approximation numérique...) qui, comme le fait remarquer Arkhnor, à un intérêt pour toute les méthodes numériques d'approximation de solution (et suffit très souvent en ingénieurie...)

mais surtout ça permet aussi (comme je l'avais fait avec mes TS) de pouvoir les amener en salle info et qu'ils puissent "faire mumuse" avec un ordi.....

et malheureusement le manque de temps, le programme chargé, la faiblesse (relative) de certzains élèves ne permet guère de faire de développement qui permettrait de mieux comprendre et saisir l'intérêt du procédé

petite remarque : on se fout de combien vaut e.....

f(0) = 1 et f' = f permet de construire une courbe qui est une approximation de la courbe de exp

en prenant alors un epsilon de plus en plus epsilonesque, on remarque que f(1) tend vers un nombre particulier (qui existait bien avant nous, d'ailleurs beaucoup de plantes le connaissent bien....) et on la noté e (comme l'initiale de exponentielle, exposant...) et le développement des mathématiques a montré son rôle fondamental...

Bonjour

En physique, je crois savoir que les TS utilisent beaucoup la méthode d'Euler.

Je sais pas trop. En tous cas, je ne l'ai jamais utilisé. Mais c'est possible en électricité où il y a pas mal d'équations différentielles...
_{5001° message, à défaut de ne pas avoir vu que mon précédent était le 5000°}

L'approximation affine locale est à la bas de toute la théorie du calcul différentiel, enseigné sérieusement à partir de la L3.

Tout dépend à quel niveau on se situe : pour un élève d epremière ou de terminale, c'est clair qu'il ne peut pas bien voir à quoi cela va servir.

Pour un étudiant de L3, les choses commencent à devenir clair, et on ne peut pas s'en passer dans certaines branches des maths.

Bref, un élève de terminale qui ne voit pas à quoi ça sert ne peut en aucun cas généraliser en disant que ça ne sert à rien, ou que ça ne servira jamais à rien ...

Pour extrapoler, sans maths, pas de satelitte, pas de portable, pas de PC, pas de produit éléctroménager, et la liste est infini.
Sans maths, pas de modernité.

A+
A+

Juste une utilisation courante d'une approximation affine :
On parle de plan d'eau pour désigner une <<petite>> partie de la surface terrestre.
Et je ne crois pas qu'un architecte tienne compte du fait que la terre n'est pas plate quand il construit un bâtiment (de taille raisonnable).

Bonjour,

Et moi qui pensais que lucas avait grandi...

Bah autant en physique, cette méthode a un grand intérêt parce qu'on peut l'utiliser pour faire une modélisation.
Mais en maths, je n'en ai pas vu le moindre...

@lucas951
Encore quelques années d'études et ça viendra.

Comme une approximation graphique de la fonction exponentielle en fixant un epsilon qui est la différence de e^x par 2,7^x ?

(ce epsilon serait fixé pour un intervalle fermé évidemment...)

En latin de cuisine :
Ad absurdia per absurium

Mais en quoi tracer (2,7)^x est-il plus simple que de tracer e^x ? Car (2,7)^x = e^(xln(2,7)) ...

Ca me paraît assez évident... Déjà parce que c'est un nombre qui a peu de chiffres significatifs, ensuite parce que les élèves n'ont pas forcément une idée concrète de ce qu'est e^x, alors que 2,7^x...