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Approximation de pi par la méthode d'Achimède

Posté par
ExoTike
23-10-20 à 16:23

Bonjour,
J'ai un exercice à faire mais je suis bloqué à la question 2, pouvez vous m'aider ?

Pi est le périmètre d'un cercle C de diamètre 1. Pour déterminer une valeur approchée de ce nombre, Archimède décida de considérer des polygones réguliers ayant le même nombre de cotés, l'un étant inscrit dans le cercle C et l'autre lui étant circonscrit.

Pour tout n3, notons Sn, le périmètre du polygone régulier à n cotés inscrit dans le cercle et Tn, le périmètre du polygone régulier à n cotés circonscrits à ce cercle.

1) Montrer que pour tout n3, Sn = nsin(pi/n) et Tn = ntan(pi/n)
Réussi

2) En utilisant la formule trigonométrique suivante :
cos() + 1 =2cos²(/2), montrer que pour tout n 3 alors

(2Sn*Tn)/Sn +Tn = [2n*sin(pi/n)]/[2cos²(pi/2n)]

Merci d'avance à ceux qui m'aideront !

Posté par
ciocciu
re : Approximation de pi par la méthode d'Achimède 23-10-20 à 16:33

salut
calcule un peu (2Sn*Tn)/(Sn +Tn)  ....

Posté par
ExoTike
re : Approximation de pi par la méthode d'Achimède 23-10-20 à 16:46

Bonjour,
j'ai déjà essayé et je trouve

[4n*sin(pi/n)*n*tan(pi/n)]/[n*sin(pi/n)+n*tan(pi/n)]

et après je ne sais pas quoi faire

Posté par
ciocciu
re : Approximation de pi par la méthode d'Achimède 23-10-20 à 16:48

ok tan= sin/cos  ok?


donc remplaces

Posté par
ExoTike
re : Approximation de pi par la méthode d'Achimède 23-10-20 à 16:54

Pour cos, je remplace par cos () +1 ?

Posté par
ciocciu
re : Approximation de pi par la méthode d'Achimède 23-10-20 à 16:56

non pour le moment remplaces juste les tan
et remets tout au mm denominateur et simplifies

Posté par
ExoTike
re : Approximation de pi par la méthode d'Achimède 23-10-20 à 17:04

J'ai

[4n* sin (pi/n)*n*(sin(pi/n)/cos (pi/n)]/ n*[sin(pi/n)*(sin(pi/n)/cos(pi/n)]

mais je n'ai pas de dénominateur commun, il me manque un n en haut

Posté par
ciocciu
re : Approximation de pi par la méthode d'Achimède 23-10-20 à 17:10

erreur en bas
tu as factorisé n  donc ça donne n(sin + \frac{sin}{cos}) et remets la (  ) au mm denominateur

en haut ça fait 4n²(sin²/cos)

comme me disais mon prof de prépa , avec la trigo il faut gratter (écrire ) , remplacer , factoriser simplifier

Posté par
ExoTike
re : Approximation de pi par la méthode d'Achimède 23-10-20 à 17:23

OK merci,

donc en mettant sur le même dénominateur çà donne n(sincos+sin) ?

Posté par
ciocciu
re : Approximation de pi par la méthode d'Achimède 23-10-20 à 17:28

ok en bas c'est ça
et en haut il reste quoi ?

Posté par
ExoTike
re : Approximation de pi par la méthode d'Achimède 23-10-20 à 18:04

Je ne peux pas plus le simplifier en haut

Posté par
ciocciu
re : Approximation de pi par la méthode d'Achimède 23-10-20 à 18:09

ok mais il te reste quoi en haut ?  de pas simplifiable

Posté par
ExoTike
re : Approximation de pi par la méthode d'Achimède 23-10-20 à 20:31

Je ne peux pas simplifier 4n²(sin²/cos)

Posté par
ciocciu
re : Approximation de pi par la méthode d'Achimède 23-10-20 à 21:51

ok en haut c'est ça
mais en bas c'est  \frac{ n(sincos+sin) }{cos}
et là tu peux simplifier

Posté par
ciocciu
re : Approximation de pi par la méthode d'Achimède 24-10-20 à 08:29

tu peux simplifier le haut et le bas je veux dire

Posté par
ExoTike
re : Approximation de pi par la méthode d'Achimède 24-10-20 à 14:04

Je ne vois pas ou vous voulez en venir, je ne peux pas simplifier le haut avec le bas.

Posté par
ciocciu
re : Approximation de pi par la méthode d'Achimède 24-10-20 à 15:44

ExoTike @ 23-10-2020 à 17:04

J'ai

[4n* sin (pi/n)*n*(sin(pi/n)/cos (pi/n)]/ n*[sin(pi/n)*(sin(pi/n)/cos(pi/n)]

mais je n'ai pas de dénominateur commun, il me manque un n en haut

ok on repart de là
ce qui nous fait
\frac{\frac{4n²sin²}{cos}}{\frac{n(sin+sincos)}{cos}}

que vaut \frac{\frac{A}{B}}{\frac{C}{D}} ?

Posté par
ExoTike
re : Approximation de pi par la méthode d'Achimède 24-10-20 à 18:32

Ok a/b/c/d = a/b * c/d mais ça ne nous avance pas
et vous avez mis 4n² et sin ² sur le même dénominateur or c'est que sin² qui est divisé par cos non ?

Posté par
ExoTike
re : Approximation de pi par la méthode d'Achimède 24-10-20 à 18:33

Pardon a/b/c/d = a/b*d/c

Posté par
ciocciu
re : Approximation de pi par la méthode d'Achimède 24-10-20 à 22:13

ExoTike @ 24-10-2020 à 18:32

Ok a/b/c/d = a/b * c/d mais ça ne nous avance pas
et vous avez mis 4n² et sin ² sur le même dénominateur or c'est que sin² qui est divisé par cos non ?


euh je suis à 2 doigts d'être inquiet...
4n² sin²4n²(\frac{sin²}{cos})=\frac{4n²sin²}{cos}=sin²(\frac{4n²}{cos})
tout est égal car ce n'est qu'un produit y'a que des multipliés

Posté par
ciocciu
re : Approximation de pi par la méthode d'Achimède 24-10-20 à 22:14

4n²(\frac{sin²}{cos})=\frac{4n²sin²}{cos}=sin²(\frac{4n²}{cos})
oups pardon

Posté par
ExoTike
re : Approximation de pi par la méthode d'Achimède 25-10-20 à 14:41

Ok merci mais je ne trouve pas le moyen de simplifier ... Comment dois-je faire ?

Posté par
ExoTike
re : Approximation de pi par la méthode d'Achimède 26-10-20 à 14:49

Quelqu'un peut m'aider, je suis désespéré



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