Arc-en-ciel numérique

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Arc-en-ciel numérique
Posté par 
ArthurThenon  20-01-18 à 22:26
→ [ÉNIGME] ARC-EN-CIEL NUMÉRIQUE

Bonjour les îliens, 

je vous propose une énigme faisant intervenir les méthodes de traitements informatiques des couleurs.

Ce sujet est construit en deux parties : une consacrée à la théorie, et l'autre à l'énigme. Vous pouvez bien évidemment vous abstenir de lire la première partie et directement entamer la lecture de la seconde.

Partie théorique :

Afin de désigner une couleur, vous employez sûrement les termes « rouge » ou « jaune ».

Dans le domaine informatique, nous privilégions davantage le codage RGB composé de trois nombres correspondant respectivement à la valeur décimale du composant rouge, la valeur décimale du composant vert et la valeur décimale du composant bleu.

↓

La valeur décimale d'un composant est un nombre naturel dans  appartenant au système décimal (donc en base 10).

        Remarque : 256 = 16²

Afin d'employer une couleur dans un programme, on utilise fréquemment le codage hexadécimal composé de trois nombres correspondant respectivement à la valeur hexadécimale du composant rouge, la valeur hexadécimale du composant vert et la valeur hexadécimale du composant bleu.

↓

La valeur hexadécimale d'un composant est un nombre naturel dans  appartenant au système  hexadécimal (donc en base 16).

La particularité de l'utilisation des nombres naturels entre zéro et deux cent cinquante-cinq est que la valeur hexadécimale correspondante n'excède pas deux caractères (et réciproquement, lorsque le nombre en question est strictement supérieur à deux cent cinquante-cinq, la valeur hexadécimale correspondante excède deux caractères), ce qui permet, pour une écriture en valeur décimale de trois nombres de trois caractères, d'obtenir un équivalent hexadécimal de trois nombres de deux caractères. Seulement trois octets seront alors utilisés pour une couleur.

Nous utiliserons dans cette énigme le tableau de correspondance ci-dessous, qui va alors s'appliquer de manière cyclique aux deux cent cinquante-cinq nombres, nous obtiendrons finalement la valeur hexadécimale correspondante à n'importe quelle valeur décimale.
0123456789101112131415
0hex1hex2hex3hex4hex5hex6hex7hex8hex9hexAhexBhexChexDhexEhexFhex

Remarque : un nombre avec un souscrit de hex est un nombre appartenant au système hexadécimal.

Partie énigme :

Soit  l'application qui à toute valeur décimale associe sa valeur hexadécimale ;

On note  le nombre égal à la valeur décimale du composant rouge ;

On note  le nombre égal à la valeur décimale du composant vert ;

On note  le nombre égal à la valeur décimale du composant bleu ;

On note  le nombre égal à la somme  ;

On appelle triplet décimal l'ensemble  ;

On appelle triplet hexadécimal l'ensemble  ;

        Trouver le nombre de triplets décimaux pour lesquels :

        1) C = 256

        2) le triplet hexadécimal est composé d'un nombre pair de lettres

Exemple 1 :

Partons du triplet décimal  correspondant à la couleur ci-dessus

⊕ Vérifions la première condition :

Donc la première condition est vérifiée.

⊕ Vérifions la seconde condition :

Nous remarquons les lettres  soit  lettres.

Or  est un nombre pair.

Donc la seconde condition est vérifiée.

        → Donc cet exemple est vérifié.

Exemple 2 :

Partons du triplet décimal  correspondant à la couleur ci-dessus

⊕ Vérifions la première condition :

Donc la première condition est vérifiée.

⊕ Vérifions la seconde condition :

Nous remarquons la lettre  soit  lettre.

Or  est un nombre impair.

Donc la seconde condition n'est pas vérifiée.

        → Donc cet exemple n'est pas vérifié.

_________________________

Bonne chance à tous !
 Posté par 
alainpaulre : Arc-en-ciel numérique  21-01-18 à 11:40
Bon dimanche,

Le problème me semble intéressant;j'ai réalisé il y a pas mal d'années ,sur cette base (RGB) avec Excel et visual basic des programmes de dessins -j'avais réduit la taille des cellules à

quelques pixels.

Td=256 correspond à une couleur d'intensité maximale (niveau de saturation).

Citation :
Je pense qu'ici,nous pourrions rechercher une solution géométrique sur le triangle

équilatéral RGB et traduire les 2 contraintes données.

Alain
 Posté par 
ArthurThenonre : Arc-en-ciel numérique  21-01-18 à 15:06
Bonjour @alainpaul, 

 Cliquez pour afficher
J'ai déniché un piège lié aux couleurs dont l'une des composante possède une valeur d'intensité maximale (), il en résulte que le triplet décimal se doit de compléter la première condition où  doit valoir  ; or si une composante vaut , il faut qu'une autre vaille  pour respecter cette condition.

La propriété de saturation parfaite ne vérifie donc pas les deux conditions.

Outre mesure, la solution géométrique imaginée me semble difficilement applicable à la seconde condition. Tu me diras ce qu'il en ressort.
 Posté par 
dpire : Arc-en-ciel numérique  21-01-18 à 16:36
Bonjour,

Tout d'abord je t'encourage à regarder la rubrique "énigmes" car tu n'a rien

à envier aux poseurs historiques 

 Cliquez pour afficher
Sauf erreur il ya 12814 triplets valides
 Posté par 
dpire : Arc-en-ciel numérique  21-01-18 à 16:52
Suite

 Cliquez pour afficher
j'ai donné le total des mauvais les bons sont  20329 
 Posté par 
ArthurThenonre : Arc-en-ciel numérique  21-01-18 à 17:04
Bonjour @dpi,

 Cliquez pour afficher

Merci pour ta participation.

Le résultat 20329 paraît cohérent, je ne saurais dire si il est juste étant donné mon niveau actuel qui ne me permet pas la résolution d'une telle énigme.

As-tu utilisé un programme ? Un papier et un crayon ? 
 Posté par 
dpire : Arc-en-ciel numérique  21-01-18 à 17:10
Je te maile mon fichier Excel
 Posté par 
alainpaulre : Arc-en-ciel numérique  21-01-18 à 17:53
Bonsoir,

Les bons points ne vont ils pas par 6 ,je veux dire si (a,b,c)  répond aux 2 contraintes,

saturation et triplet hexadécimal à nombre pair de lettres  alors les 6 points

  sont solution.

Une question:les solutions sont-elles,dans le  triangle RGB regroupées par zones?

Amicalement,

Alain
 Posté par 
Alishisapre : Arc-en-ciel numérique  21-01-18 à 21:52
Bonsoir ArthurThenon et merci pour l'énigme. 

 Cliquez pour afficher
J'ai testé tous les 2563 = 16 777 216 triplets (R,G,B) possibles informatiquement, il y a exactement 17 634 triplets parmi eux qui respectent les 2 conditions.

Je ne vais évidemment pas tous les énumérer, mais en voici quelques uns :

(202; 38; 16) --> (ca; 26; 10)
(202; 42; 12) --> (ca; 2a; c)
(202; 43; 11) --> (ca; 2b; b)
(202; 44; 10) --> (ca; 2c; a)
(202; 48; 6) --> (ca; 30; 6)
(202; 49; 5) --> (ca; 31; 5)
(202; 50; 4) --> (ca; 32; 4)
(202; 51; 3) --> (ca; 33; 3)
(202; 52; 2) --> (ca; 34; 2)
(202; 53; 1) --> (ca; 35; 1)

J'ai vérifié que ton exemple était bien inclus dans mes solutions.

Il y a 33 150 triplets qui ne respectent que la première condition R+G+B = 256. C'est presque le double.

Enfin, il y a 270 triplets qui contiennent exactement 4 lettres en tout (et qui respectent en plus la première condition).

 Posté par 
ArthurThenonre : Arc-en-ciel numérique  21-01-18 à 21:53
Bonsoir, 

bien sûr, ces six solutions sont vérifiées.

Cependant, je n'emploierais pas le terme de saturation pour désigner la première contrainte,  n'est que l'addition des trois valeurs des composants, et une couleur n'a pas à être saturée pour satisfaire la première contrainte, et a contrario, la valeur de  la plus importante est  atteinte par la couleur blanche.

Répondre à la solution de manière géométrique me paraissait inconcevable, mais si tu y arrive, je serai intéressé de savoir comment tu as réalisé.
 Posté par 
Alishisapre : Arc-en-ciel numérique  21-01-18 à 22:24
Rebonsoir,

voici mon fichier avec toutes les solutions que j'ai trouvées : 
 Posté par 
ArthurThenonre : Arc-en-ciel numérique  21-01-18 à 22:38
Re bonsoir @dpi,

Le programme que tu as fourni traduit mal l'application .

Prenons au hasard la ligne 32848, on peut voir le triplet décimal , et ton programme converti  en 

Or une valeur décimal comprise dans  possède un équivalent hexadécimal qui n'excède pas deux caractères.

En fait ton application ne fonctionne plus à partir de  (donc à partir de  où tu continue d'ajouter  au nombre qui précède la lettre alors qu'une fois passé ce stade, l'équivalent hexadécimal est  )

Autre problème : ton programme rajoute les nombre jusqu'à  alors qu'il faut s'arrêter à .
 Posté par 
Alishisapre : Arc-en-ciel numérique  21-01-18 à 23:11
Une dernière remarque :

 Cliquez pour afficher
Comme l'a fait remarqué alainpaul, si  est solution, alors les 5 autres permutations de (a,b,c) le sont aussi.

Donc si parmi les 17 634 triplets solutions on ne compte pas les permutations "en trop", alors il ne reste plus que  triplets solutions. 
 Posté par 
alainpaulre : Arc-en-ciel numérique  22-01-18 à 11:01
Bonjour,

Si l'on souhaite utiliser les 2 contraintes pour réaliser des dessins colorés par programme

visual basic avec Excel les permutations sont à prendre en compte.

Je n'ai pas d'autres mots pour qualifier la somme =256 que 'saturation' ,les exemples fournis montent bien deux couleurs assez soutenues.

D'autre part,il est intéressant, pour le rendu,de  savoir si les solutions sont regroupées en zones,

Alain
 Posté par 
dpire : Arc-en-ciel numérique  22-01-18 à 11:07
Bonjour,

Le triplets 256,0,0 ou 0,256,0 ou 256,0,0 correspondant aux trois couleurs fondamentales pures  existent-t-ils ? sinon pourquoi?

Dans le cas général les triplets  permutables me semblent devoir coexister puisqu'ils

définissent le "dosage" des couleurs

>arthurThenon

 Cliquez pour afficher
Je suis désolé, emporté dans mon élan ,j 'ai fait 160 =100 au lieu de  A0.

Je replanche  après mise au point  de mes deux observations.
 Posté par 
dpire : Arc-en-ciel numérique  22-01-18 à 15:37
Bon

Je donne mon tableau final des triplets

 Cliquez pour afficher
L  L  L                                    1800            

C C  L et permuts       11015

C  LL L et permuts       2684

soit non                          15 509

L  L  C et permuts       10418

C C C                                    5106

LL L L  et permuts             270

C C LL  et permuts       1837

soit valides                     17 631

A noter que le total des triplets soit 32640   pour  n=255  correspond à n(+1)/2
 Posté par 
LittleFoxre : Arc-en-ciel numérique  22-01-18 à 17:52
@dpi Les couleurs saturées se notent (0;0;255) et permutations. Comme l'a dit ArthurThenon les nombres de 0 à 255 compris sont utilisés car il tiennent sur un octet d'information. 

C est donc plus vaguement une luminosité qu'une saturation. Je dis vaguement car la luminosité dépendra de l'écran utilisé et de plein d'autres paramètres.

On ne peut pas diviser le nombres de solutions par 6 car les solutions comme (0;0;0) et (25,25,19) n'ont pas 6 permutations différentes.

 Cliquez pour afficher
On a R+B+G = C = 256. Donc possibilités à analyser.

Note : en python il y a une fonction hex(n) qui renvoie l'écriture hexadécimale de n. On peut aussi écrire '%x' % n (ça évite d'avoir le 0x devant).

J'obtiens 17635 solutions avec le petit programme ci dessous:

from collections import Counter
ans = set()
for r in range(256):
 for g in range(0,min(255,256-r)+1):
  b = 256-r-g
  c = Counter('%x%x%x'%(r,g,b))
  if sum(c[d] for d in 'abcdef') % 2 == 0:
   ans.add((r,g,b))

len(ans)

 Posté par 
Alishisapre : Arc-en-ciel numérique  22-01-18 à 20:19
Bonsoir dpi, LittleFox, ArthurThenon,

 Cliquez pour afficher
dpi a trouvé 17 631 triplets,

LittleFox 17 635,

et moi 17 634 (j'ai précisé mes triplets dans un précédent message),

Qui a raison ? 
 Posté par 
Alishisapre : Arc-en-ciel numérique  22-01-18 à 20:20
Et oui bonne remarque pour l'impossibilité de diviser par 6, j'ai parlé un peu trop vite. 
 Posté par 
Alishisapre : Arc-en-ciel numérique  22-01-18 à 20:57
Bonsoir LittleFox, je crois avoir détecté une petite coquille dans ton programme :

 Cliquez pour afficher
A la première itération  mais les valeurs doivent être dans ... Ce qui nous ramène bien à 17 634 triplets solutions. 
 Posté par 
ArthurThenonre : Arc-en-ciel numérique  23-01-18 à 00:35
Bonjour @alainpaul,

Citation :
Je n'ai pas d'autres mots pour qualifier la somme =256 que 'saturation' ,les exemples fournis montent bien deux couleurs assez soutenues

Fait, gaffe, les définitions colorimétriques de la saturation, comme on en convient, n'ont aucun lien avec le critère selon lequel la somme des valeurs vaille 256, et il n'est pas difficile de s'en convaincre :

Cette fois-ci, je note les valeurs numériques des trois composants d'une couleur un nombre réel.

Par définition, les couleurs où  possèdent une teinte qui appartient à un niveau de gris.

Par définition, la saturation d'une couleur dont la teinte est un niveau de gris est nulle.

Or prenons le trinôme décimal 
 on observe que  (donc la teinte de cette couleur est un niveau de gris) et que 

Selon ta définition de « saturé », cette couleur est saturé,

mais selon les lois de la colorimétrie, elle ne l'est pas.
 Posté par 
LittleFoxre : Arc-en-ciel numérique  23-01-18 à 09:17
@Alishisap bien vu! Effectivement, je compte la solution (0,0,256) mais elle est fausse. Petite erreur.  Ça me ramène comme toi à 17634 solutions .

 Cliquez pour afficher

Voici mon programme corrigé 

from collections import Counter
ans = set()
for r in range(256):
   for g in range(256):
      b = 256-r-g
      if 0 <= b <= 255:
         c = Counter('%x%x%x'%(r,g,b))
         if sum(c[d] for d in 'abcdef') % 2 == 0:
            ans.add((r,g,b))

len(ans)

 Posté par 
LittleFoxre : Arc-en-ciel numérique  23-01-18 à 09:21
@Alishisap Tu m'as l'air d'aimer résoudre des problèmes en fabriquant de petit programmes 

Est-ce que tu connais le project Euler?  

Il existe aussi une version plus simple et en français, le défi Turing : 

Je pense que ça t'intéressera 
 Posté par 
dpire : Arc-en-ciel numérique  23-01-18 à 09:50
Je viens de faire une dernière vérification et je ne trouve pas les 4 qui me manquent

Peut-être le problème des 0....

De plus ,je trouve  32640 cas possibles, combien en trouvez-vous?
 Posté par 
alainpaulre : Arc-en-ciel numérique  23-01-18 à 10:05
Bonjour,

J'ai travaillé sous différents aspects la question de la couleur :spectral,chimie des colorants,

azurants optiques et création de dessins colorés;les conditions ici posées écartent entre autres le blanc,les faibles niveaux de gris et le noir.

Nous pouvons nous intéresser à la nature esthétique duproblème ;comment cela se traduit-il sur une toile?

Une remarque:

dans l'exemple donné [15,134,107} soit {00F,086,06B} les permutations  sur les 2

derniers caractères hexa marchent aussi  {006,08F,06B} ,{08F,006F,06B} . . .,

Amicalement,

Alain
 Posté par 
dpire : Arc-en-ciel numérique  23-01-18 à 18:20
Bonsoir

 Cliquez pour afficher
J'ai enfin trouvé les 4 qui me manquaient soit 17634

En détail:  

L  L C (ou permut)       10422

C  C  C                                    5106

 L  L    LL                                    270 

C C    LL                                  1836                                   

 Posté par 
Alishisapre : Arc-en-ciel numérique  23-01-18 à 20:38
Bonsoir @LittleFox,

 Cliquez pour afficher
Oui je connais "project Euler", c'était mon enseignant d'informatique en prépa qui me l'avait fait découvrir.  J'avais commencé à résoudre une vingtaine de problèmes, mais en ce moment je n'en fais plus trop (manque de temps) mais j'adore le concept (des maths et de l'info, quel plasir !!) 

Et toi, tu en es où dans la résolution des problèmes ? 

Par contre je ne connaissais pas le "projet Turing", je vais voir de ce pas, merci beaucoup.  
 Posté par 
ArthurThenonre : Arc-en-ciel numérique  23-01-18 à 22:46
Bonjour(soir) @alainpaul,

Citation :
J'ai travaillé sous différents aspects la question de la couleur :spectral,chimie des colorants, azurants optiques et création de dessins colorés;

Je ne doute pas de ta connaissance en la matière.

Citation :
Td=256 correspond à une couleur d'intensité maximale (niveau de saturation). 

(...)

Je n'ai pas d'autres mots pour qualifier la somme =256 que 'saturation' ,les exemples fournis montent bien deux couleurs assez soutenues. 

Les deux exemples fournis montrent effectivement des couleurs assez soutenues, mais j'ai fais exprès de choisir des couleurs « assez soutenues » afin que ces couleurs contrastes suffisamment avec le fond blanc du site.

En outre, la teinte dont le triplet décimal est  ne semble pas bien soutenus, pourtant elle respecte 

Admettons que  est le niveau de saturation.

Comment définis-tu alors le niveau de saturation de la teinte blanche ?  ? Or tu as toi même expliquer dans la citation ci-dessus que le niveau de saturation maximal est  ...
 Posté par 
LittleFoxre : Arc-en-ciel numérique  24-01-18 à 11:08
@Alishisap Pareil, un assistant à l'unif me l'a fait découvrir. A ce jour j'ai 191 problèmes résolus . Effectivement, ça prend du temps .
 Posté par 
alainpaulre : Arc-en-ciel numérique  24-01-18 à 11:34
Bonjour,

C=256 me conviendrais pour réaliser un dessin coloré ,je n'ai jamais parlé de saturation 'maximale' et je sais que les conditions données nous évitent  le blanc et le noir ainsi que

des teintes très foncées.

A quoi ressemble le couleur {256/3 , 256/3 , 256/3}  ?

Les solutions sont-elles regroupées par zones  sur le triangle RGB?

Alain
 Posté par 
ArthurThenonre : Arc-en-ciel numérique  24-01-18 à 21:34
Bonjour @alainpaul, 

Je vais répondre en trois paragraphes aux trois paragraphes que tu as rédigés :

Citation :
C=256 me conviendrais pour réaliser un dessin coloré ,je n'ai jamais parlé de saturation 'maximale' et je sais que les conditions données nous évitent  le blanc et le noir ainsi que des teintes très foncées. 

Tu as dit « Td=256 correspond à une couleur d'intensité maximale » au tout premier message, tout d'abord pourquoi le trinôme décimal, qui est un ensemble : « On appelle triplet décimal l'ensemble Td={R;G;B} ;  » vaudrais t-il un nombre ? J'ai donc supposé que tu évoquait en fait la variable C qui vaut 256. Enfin, certes, la première contrainte donnée empêche la vérification de blanc, noir et teintes très foncées, mais il s'avère qu'elle empêche davantage de teintes très claires que très foncées.

Citation :
A quoi ressemble le couleur {256/3 , 256/3 , 256/3}  ? 

La couleur qui correspond à  ressemble à ça : 

Citation :
Les solutions sont-elles regroupées par zones  sur le triangle RGB? 

Je n'ai absolument pas réfléchi à une solution géométrique, je n'ai fait que poser l'énoncé, je juge plus facile de trouver une solution à l'aide d'un programme. Mais pour répondre à ta question, je ne pense pas que les réponses soient regroupées par zones. La deuxième contrainte empêche effectivement de vérifier cette propriété dans un système quelconque.
 Posté par 
LittleFoxre : Arc-en-ciel numérique  25-01-18 à 09:29

Juste pour voir ce que ça donne, j'ai fait dessiner un triangle de couleurs à mon ordi, les pixels colorés sont ceux correspondants aux contraintes :

 Posté par 
dpire : Arc-en-ciel numérique  25-01-18 à 17:59
Pas mal.

J'ai essayé avec des pixels concentriques ,c'est vraiment pas beau

Je comprends mieux pourquoi mon premier ordi  n'avait que 256 couleurs

(Carte VGA)
 Posté par 
LittleFoxre : Arc-en-ciel numérique  26-01-18 à 15:25
Dans cette version-ci, chaque pixel est un hexagone au lieu d'un carré, ça donne un triangle équilatéral plus équilibré.

C'est un screenshot due l'image svg calculée par ce programme:

 Cliquez pour afficher
from collections import Counter

HEADER = """<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="100%">
    <g transform="translate(800,100) scale(2) " stroke-width="0.01" stroke-linecap="round" stroke="none" fill="none">
"""

FOOTER = """    </g>
</svg>
"""

TEMPLATE = """<g transform="translate({x},{y})" stroke="#{r:02x}{g:02x}{b:02x}" fill="#{r:02x}{g:02x}{b:02x}">
            <path d="M -0.5 0.8660254037844386 L 0.5 0.8660254037844386 L 1 0 L 0.5 -0.8660254037844386 L -0.5 -0.8660254037844386 L -1 0 Z"/>
        </g>
"""

with open("colorTriangle.svg",'w') as file:
    print(HEADER, file=file)
    for r in range(256):
        for g in range(256):
            b = 256-r-g
            if 0 <= b < 256:
                count = Counter('{r:02x}{g:02x}{b:02x}'.format(r=r,g=g,b=b))
                if sum(count[c] for c in 'abcdef')%2 == 0:
                    print(TEMPLATE.format(x=(g-r)/2,y=(r+g)*3**0.5/2, r=r,g=g,b=b), file=file)
    print(FOOTER, file=file)

 Posté par 
LittleFoxre : Arc-en-ciel numérique  26-01-18 à 16:14
Petite erreur dans le code précédent, les hexagone se chevauchent. Voici le code corrigé :

 Cliquez pour afficher
from collections import Counter

HEADER = """<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="100%">
    <g transform="translate(800,50) scale(1.5) " stroke-width="0.5" stroke-linecap="round" stroke="none" fill="none">
"""

FOOTER = """    </g>
</svg>
"""

TEMPLATE = """<g transform="translate({x},{y})" stroke="#{r:02x}{g:02x}{b:02x}" fill="#{r:02x}{g:02x}{b:02x}">
            <path d="M 0 -1 L 0.8660254037844386 -0.5 L 0.8660254037844386 0.5 L 0 1 L -0.8660254037844386 0.5 L -0.8660254037844386 -0.5 z"/>
        </g>
"""

with open("colorTriangle.svg",'w') as file:
    print(HEADER, file=file)
    for r in range(256):
        for g in range(256):
            b = 256-r-g
            if 0 <= b < 256:
                count = Counter('{r:02x}{g:02x}{b:02x}'.format(r=r,g=g,b=b))
                if sum(count[c] for c in 'abcdef')%2 == 0:
                    print(TEMPLATE.format(x=(g-r)*3**0.5/2,y=(r+g)*1.5, r=r,g=g,b=b), file=file)
    print(FOOTER, file=file)

C'est sensiblement la même image sauf certains pixels non allumés qui étaient recouverts et les arêtes qui étaient lissées.

  Posté par 
interpolre : Arc-en-ciel numérique  28-01-18 à 19:01
Bonsoir,

Merci pour vos représentations 'triangulaires' ,

Alain