Bonjour à tous.

Je travaille sur la correction d'un exercice trouvé sur un site, et je voudrais m'assurer d'avoir bien compris les étapes de cette correction. Je vous remercie par avance de votre aide.

"Soient (I,f) et (I,g) deux arcs paramétrés réguliers paramétrés par abscisse curviligne. Démontrer que s'il existe un déplacement du plan φ tel que f=φ∘g, alors f et g ont la même fonction courbure".

"Puisque les paramétrages sont normaux, la courbure de (I,f) est donnée par det(f′,f′′) et celle de (I,g) par det(g′,g′′)"
On part de la détermination de la courbure dans le cas général, soit    et comme le paramétrage est normal, on a   ?

"Mais on sait que f=φ∘g=ag+b, avec a,b∈C, |a|=1"
Une déplacement est une (isométrie) application affine, translation, rotation plane et leurs composées, et on prend    pour simplifier et utiliser le cas d'une translation ?

"En particulier, f′=ag′+b=φ∘g′ et f′′=φ∘g′′.
Ok.

"Mais, toujours parce que φ est un déplacement, det(φ∘f′,φ∘f′′)=det(f′,f′′).  Ainsi, on a bien det(f′,f′′)=det(g′,g′′), et les deux courbures sont identiques."

On utilise la multilinéarité du déterminant?
N'aurait-on pas plutôt  det(f′,f′′) = det(φ∘g′,φ∘g′′) = det(g′,g′′) ?

Merci pour votre aide.
Bonne journée.