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Arc régulier
On considère la droite D = {(x, y) ∈ R2|y = 0}.
On peut voir D comme le support de l'arc géométrique A dont un paramétrage est (R, f ) avec f (t) = (t, 0) ou comme le support de l'arc
géométrique B dont un paramétrage est (R, g) avec g(t) = (t3, 0). Ces deux arcs sont différents car seul A est régulier.
1.Montrer que A est le seul arc géométrique régulier dont le support est D.
2. En déduire qu'il n'existe qu'un seul arc géométrique régulier dont le support est φ(D), où φ est un difféomorphisme (lisse) de R^2.
Mes réponses :
1. En considérant un autre paramétrage (J,g) de A , il existe donc un difféomorphisme 
tq : f = g()
g est à valeur dans R^2 donc on peut écrire g=(g1;g2).
On trouve alors que g2 : t
0 et que g1() = t , donc g1=-1
Maintenant je ne vois pas comment montrer que tout paramétrage régulier de support D est de cette forme.
Merci
Bonsoir,
c'est un sujet que je connais mal.
Je pose donc une question presque naïve à Arthur68329 : comment montrer que l'arc géométrique avec
est le même que l'arc
avec
?
Mais j'ai du mal à voir le lien avec l'exercice.
Ah bon ?
Qu'est-ce qu'un arc régulier de support
Bonjour,
Je vais commencer par répondre à Verdurin :
Ce que l'on appelle "arc géométrique" c'est une classe d'équivalence d'arcs paramétrés.
Pour montrer que deux arcs paramétrés (
,f) et (,g) appartiennent à la même classe d'équivalence ( au même arc géométrique ), il faut trouver un Ck-difféomorphisme 
de sorte que : f(t) =g((t)).
On parle aussi de changement de paramétrage pour qualifier
Ensuite pour répondre à GBZM, je crois que je commence à comprendre le sujet :
Si (J,g) un paramétrage régulier de support D= {(x, y) ∈ R2|y = 0} (on rappelle que g=(g1;g2) ), alors on a que g1() = et g2() = 0
Ce qui nous donne que g1 est surjectif et comme g est régulier, c'est a dire g'(t) non nul pour tout t dans , il en est de même pour g'1. Donc g'1 de signe constant, donc g1 monotone.
De plus g1 est continue.
Alors g1 est une bijection, de réciproque =g1-1. est dérivable parce que g'1 est non nul. Donc g1 est un C1 difféomorphisme.
Et on a bien : g((t)) = (g1((t)) ; 0) = (t;0) = f(t)
Est ce que ça marche?
En plus c'est pas la première fois qu'on me fait cette réflexion, mais quelle est la différence entre les deux?
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