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Arc sin,arc tan et arc cos

Posté par francois (invité) 12-09-05 à 21:56

Bonjour,
Je n'arrive pas à démontrer plusieurs égalités!Pouvez vous m'aider.
Il s'agit de démontrer que:
cos(arc sinx)=(1-x²)=sin(arc cosx) x[-1;1]
cos(arc tanx)=1/(1+x²) x
sin(arc tanx)=x/(1+x²) x
Voila pr ces 3 démonstrations pr lesquelles je ne vois pa du tout comment démarrer!merci de votre aide
bonne soirée et nuit

Posté par
dad97 Correcteurre : Arc sin,arc tan et arc cos 12-09-05 à 21:59

Bonsoir françois,

etudier la différence des deux membres, constater que la dérivée de la fonction obtenue est toujours nul, conclure que la fonction est constante et conclure en prenant la valeur de la fonction en 0 par exemple.

Salut

Posté par francois (invité)re : Arc sin,arc tan et arc cos 12-09-05 à 22:04

Merci  beaucoup dad97 pour cette piste!Je vais le faire de suite et je te tiens au courant si je bloque de nouveau!

Posté par
Nightmarere : Arc sin,arc tan et arc cos 12-09-05 à 22:05

Ou sinon :

cos(x)=V(1-sin²(x))

donc cos(arcsin(x))=V(1-sin²(arcsin(x)))=V(1-x²)

Essaye de faire de même pour les autres

jord

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Arc sin,arc tan et arc cos 13-09-05 à 04:37

Bonsoir;
pour la seconde comme la fonction \fbox{x\to arctan(x)} arrive dans ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ on a que \fbox{\{{\forall x\in\mathbb{R}\\cos(arctan(x))>0} d'où 3$\fbox{cos(arctan(x))=sqrt{cos^2(arctan(x))}=\frac{1}{sqrt{\frac{1}{cos^2(arctan(x))}}}=\frac{1}{sqrt{1+tan^2(arctan(x))}}=\frac{1}{sqrt{1+x^2}}}
pour la dernière vu que les deux fonctions x\to sin(arctan(x)) et x\to \frac{x}{sqrt{1+x^2}} sont impaires,il suffit de montrer leur égalité sur ]0,+\infty[
soit alors x>0 on a:
3$\fbox{sin(arctan(x))=cos(\frac{\pi}{2}-arctan(x))=cos(arctan(\frac{1}{x}))=\frac{1}{sqrt{1+(\frac{1}{x})^2}}=\frac{x}{sqrt{1+x^2}}}
Sauf erreur bien entendu

Posté par
ottore : Arc sin,arc tan et arc cos 13-09-05 à 13:36

Pour la première il y'a plus simple:
cos^2+sin^2=1
notamment sin(arcsin(x))=x pour tout x de -1..1

Posté par francois (invité)re : Arc sin,arc tan et arc cos 13-09-05 à 18:10

Merci a vs ts de m'avoir aider, j'ai bien compris les différentes démarches!


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