Arccos(2x/(1+x^2))

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Arccos(2x/(1+x^2))
Posté par 
math71  07-10-18 à 09:34
Bonjour,

Voici mon sujet: on pose f(x)=Arccos(2x/(1+x^2))

1) Domaine de définition de f?

2) Simplifier l'expression de f(x).

3) tracer le graphe de f.

1) je n'ai pas eu de pb et ai trouvé Df=IR+

2) Ce qui est à l'intérieur de Arccos m'a fait penser à tan et j'ai donc posé u=2Arctan(x), ce qui m'a donné:

2x/(1+x^2)=2tan(u/2)/(1+tan^2(u/2))

 = 2tan(u/2)/(1/cos^2(u/2))

 = 2cos^2(u/2).sin(u/2)/cos(u/2) 

= 2cos(u/2).sin(u/2)

= sin(u)

et par conséquent f(x)=Arccos(sin(2Arctan(x))

Mais on ne peut pas dire que cela soit une expression simplifiée de f(x)!!

En utilisant cotan c'est pas mieux...

Quelqu'un peut-il me donner un autre début de piste sil vous plait? merci d'avance.
 Posté par 
luzakre : Arccos(2x/(1+x^2))  07-10-18 à 09:53
En partant de  qui est exact, tu peux remarquer que  et tu devras traiter 
 Posté par 
boninmire : Arccos(2x/(1+x^2))  07-10-18 à 09:58
Et peut-être devrais tu apprendre tes formules de trigo plutôt que d'être obligé de les redémontrer, même si être capable de les retrouver par toi même est aussi une bonne chose.
 Posté par 
math71re : Arccos(2x/(1+x^2))  07-10-18 à 10:18
Merci. J'ai donc f(x)= Arccos(cos(/2 -2Arctan(x)))

Or 0Arctan(x)</2 (puisque x>0 d'après le domaine de définition)

donc 02Arctan(x)<

et par conséquent -/2</2-Arctanx/2

Il faut donc distinguer 2 cas:

soit 0/2-2Arctan(x)/2, càd 0x2 /2

soit -/2</2-2Arctanx0, càd x2 /2

On a donc en conclusion:

Si x[0;2/2], f(x)=/2-2Arctanx

si x[2/2;+[, f(x)=2Arctanx-/2

Si ceci est juste, pas de pb après pour la dernière question.

Merci de me dire si c'est juste et encore merci pour l'idée.
 Posté par 
math71re : Arccos(2x/(1+x^2))  07-10-18 à 10:21
Pour Boninmi: merci de me dire quelle formule de trigo j'ai redémontré alors que je devais la savoir... Je suis en sup, début de sup: en terminale on sait peu de formule de trigo et je ne vois pas à laquelle  vous faites allusion...
 Posté par 
luzakre : Arccos(2x/(1+x^2))  07-10-18 à 11:46
Ton ensemble de définition semble fantaisiste !

L'irruption de  est plutôt malvenue !

Pour te corriger et trouver les bonnes réponses, tu te bases sur les remarques suivantes :

La limite de  en  est 

 (c'est plus commode d'avoir une fonction croissante pour trouver les intervalles images).
 Posté par 
boninmire : Arccos(2x/(1+x^2))  07-10-18 à 15:39
math71 @ 07-10-2018 à 10:21

Pour Boninmi: merci de me dire quelle formule de trigo j'ai redémontré alors que je devais la savoir... Je suis en sup, début de sup: en terminale on sait peu de formule de trigo et je ne vois pas à laquelle  vous faites allusion...

Je ne sais plus depuis longtemps ce qu'on fait en terminale, mais on s'en moque. Tu es en sup, de ton plein gré j'espère pour toi. Alors apprends tout de suite ça:

https://www.maths-france.fr/MathSup/Cours/FormulaireTrigo.pdf 
 Posté par 
math71re : Arccos(2x/(1+x^2))  07-10-18 à 16:26
En effet je me suis trompé dans mon domaine de définition: j'ai dis que 2x/(1+x^2) devait être entre 0 et pi au lieu de -1 et 1 (bête confusion entre ensemble de départ et d'arrivée... on vient juste de le faire en classe). En fait f est donc définie sur IR.

Par contre je ne vois pas trop le lien avec les limites.

J'ai donc f(x)= Arccos(cos(2Arctanx-/2))

Or pour tout x réel -/2<Arctanx</2 

donc -<2Arctanx<

d'où: -3/2<2Arctanx-/2</2

Je dois donc distinguer 3 cas: je pose d'abord u=2Arctanx-/2

- si u est entre 0 et /2, f(x)=u

- si u est entre - et 0 f(x)=-u

- si u est entre -3/2 et - f(x) = u +2

 Or 0u</2, cela donne /4Arctanx</2

et donc racine de 2 /2x

u entre - et 0 cela correspond à -/4Arctanx/4

et donc -2/2x2/2

et dernier cas u est entre -3/2 et - correspond à x-2/2
 Posté par 
luzakre : Arccos(2x/(1+x^2))  07-10-18 à 16:44
Et revoilà ! D'où sors-tu ces délirants  ?
  Posté par 
math71re : Arccos(2x/(1+x^2))  07-10-18 à 16:49
J'ai mélangé entre cos et tan! 

c'est bien sûr 1 et -1...