Niveau exercices

Arcs paramétrés et fermés

Posté par
luzak 25-09-18 à 08:24

Un récent topic m'a fait penser à ceci :
Tout le monde sait que $F(\R_+)$ (arc paramétré défini par $F(t)=(t,f(t))$ et $f$ continue) est un fermé du plan euclidien.
Est-ce encore le cas si $F(t)=(f(t),g(t)),\;f,g$ continues sur $\R_+$ ?

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Posté par re : Arcs paramétrés et fermés 25-09-18 à 22:09

Salut luzak.

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Posté par re : Arcs paramétrés et fermés 25-09-18 à 22:55

Bonsoir verdurin !
Je dois avouer que sur le moment, en lisant ton "exemple", j'ai failli me "culpéder" . On a tellement l'habitude de voir ces arcs comme des fermés !

Posté par re : Arcs paramétrés et fermés 27-09-18 à 22:22

Bonsoir

A priori je dirai non.

Par exemple, si f et g admettent des limites finies L et L' en l'infini, telles que (L;L') F(IR+), alors le point (L;L') est seulement adhérent à F(IR+) qui n'est donc pas fermé.

On peut même imaginer que F(IR+) soit un "gribouillage" dense d'un disque borné.