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Arctan

Posté par Emmylou (invité) 24-10-04 à 15:06

Bonjour,

J'ai un petit problème avec une simplification d'arctan :/
Je sais que je dois arriver à arcsin x, mais j'arrive pas à y arriver

Voilà : arctan (x/(1-x²))

Merci pour vos éclaircissement

Emmylou.

Posté par
dad97 Correcteurre : Arctan 24-10-04 à 15:23

Bonjour Emmylou,

Montrons que la fonction f : x--> arctan(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}-Arcsin(x) est constante et vaut 0.


f=VoU-W où V=arctan , U(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} et W=arcsin

f'=U'\times V'oU - W'

U'(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}+2x(1-x^2)^{\frac{-1}{2}}}{1-x^2}=\frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}
V'oU=\frac{1}{1+U^2}=\frac{1}{1+\frac{x^2}{1-x^2}}=1-x^2
W'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}

En rassemblant on a donc :

f'(x)=\frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}\times (1-x^2)-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}=0

Donc la fonction f est constante.

or f(0)=arctan(\frac{0}{\sqrt{1-0}}}-Arcsin(0)=arctan(0)-arcsin(0)=0-0=0

D'où pour tout x réel f(x)=0

d'où pour tout x réel : arctan(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}=Arcsin(x)

Salut

Posté par
dad97 Correcteurre : Arctan 24-10-04 à 15:25

Oh problème de Latex , il fallait lire :

f'(x)=\frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}\times (1-x^2)-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0


Salut

Posté par Emmylou (invité)re : Arctan 24-10-04 à 15:38

Oooh trop bien


Par contre, j'ai vu que c'était égal à arcsin uniquement en tatonnant sur ma calculatrice, est-ce que par hasard, y aurait moyen de résoudre l'équation autrement (moyen qui éventuellement pourrait me servir plus tard, c'était que ma deuxième )

Merci encore !

Posté par
dad97 Correcteurre : Arctan 24-10-04 à 15:55

euh j'en sais rien je ne connaissais pas non plus cette formule !!!

Posté par Guillaume (invité)re : Arctan 24-10-04 à 17:14

la racine est definie si -1 < x < 1 posons alors x=sin u
il vient
arctan(x/rac(1-x²))=
arctan(sinu/rac(1-sin²u))=
arctan(sinu/cosu)=
arctant(tanu)=u=arcsin x


voila, démo a l'arrache.
A+

Posté par Guillaume (invité)re : Arctan 24-10-04 à 17:15

Oulala petit bug, je voulais écrire si x est compris entre -1 et 1. Les signes inférieurs ont disparus

A+

Posté par
Océane Webmasterre : Arctan 25-10-04 à 17:32

Salut Guillaume, ils sont réapparus
En tant que correcteur, tes < sont interprétés comme des balises html.
Il ne faut donc pas faire un signe < à l'aide du clavier mais en tapant & lt; (sans espace bien sûr).
@+

Posté par Guillaume (invité)re : Arctan 25-10-04 à 17:41

Salut Océane,

merci pour ce rappel !

voyons voir:
1 lt; 2

A+

Posté par Guillaume (invité)re : Arctan 25-10-04 à 17:42

Salut Océane,

merci pour ce rappel !

voyons voir:
1 < 2

A+

Posté par Guillaume (invité)re : Arctan 25-10-04 à 17:42

Ca roule.


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