effectivement tan(arctan2+arctan5)=-7/9

or arctan 2 + arctan 5 est dans l'interval [pi/2, pi]

donc arctan 2 + arctan 5 = arctan -7/9 + pi

en effet pour passer de tan(a) = b a arctan(b) = a, il faut s'assurer d'abord que a appartien a [-pi/2,pi/2] car arctan (x) n'est la reciproque que de la restriction de tan(x) a -pi/2 pi/2

il faut donc passer par  tan(arctan2+arctan5-pi)= tan(arctan2+arctan5)=-7/9

et arctan2+arctan5-pi appartie a [0 pi/2]


plus qua repeter le processur avec la 3e arctan et c bon ^^

J'ai effectivement bien compris qu'il fallait faire attention à l'intervalle de définition, mais je ne comprends pas en quoi ta méthode permet de conclure quant au calcul demandé?

Merci

Laurierie, c'est une application des formule du cours :
a)
b) pour tout x,
c)




On ramène dans :





est déjà dans :


Finalement

Sauf erreur.

Nicolas

J'avais compris la méthode pour calculer ce genre de choses,mais je ne comprenais pas le fait qu'il faille rajouter Pi.C'est chose faite grace a ton explication Nicolas75,merci beaucoup.

Je t'en prie.
N'oublie pas Ksilver qui avait déjà parlé du "pi" plus haut.

Oui effectivement je remercie bien sur Ksilver pour son explication.a+++

bonjour à tous :

Moi aussi je révise mon DM de demain lol et voila comment j'aurrais procédé ( mais ça revient presque au même ) :

J'aurais utilisé la formule de Machin :

il existe k {-1;0;1} tel que arctan(p)+arctan(q) = arctan[(p+q)/(1-pq)] + k

d'où :

arctan(2)+arctan(5) = arctan[(2+5)/(1-2*5)] + k = arctan(-7/9) + k

or arctan(2)+arctan(5) appartient à ]/2;[

et arctan(-7/9) appartient à ]/2;0] d'où k = 1

donc :

arctan(2)+arctan(5)+arctan(8) = + arctan(-7/9) + arctan(8)

On calcul ensuite arctan(-7/9) + arctan(8) on trouve arctan(1) + k

On en déduit en procédant de la même façon que précédement que k = 0

d'où :

arctan(2)+arctan(5)+arctan(8) = + arctan(1) = + /4 = (5)/4

A+ sur l'
romain

Oups, 2 erreurs lol :

Tout d'abord c'est mon DS que je révise

et ensuite c'est bien sur :

arctan(-7/9) appartient à ]-/2;0] d'où k = 1

A+

Cette résolution avec la formule de Machin a l'air efficace et rapide. Mais je ne l'ai rencontré que dans un exercice et le prof ne nous l'a pas fait écrire dans le cours...Sinon bonne chance pour ton DS (à cette heure ci tu dois être en train de flancher dessus!)

A+++ et Merci

Espérons que notre ami est en train de "plancher", mais pas de "flancher" comme tu l'as écrit !

Une autre manière.

1 + 2i a pour argument arctg(2)
1 + 5i a pour argument arctg(5)
1 + 8i a pour argument arctg(8)

(1+2i).(1+5i).(1+8i) a pour argument arctg(2) + arctg(5) + arctg(8)

(1+2i).(1+5i).(1+8i) = -65 - 65i = -65(1+i) = -(65.V2) ((1/V2) + (1/V2).i)

arg[(1+2i).(1+5i).(1+8i)] = Pi + Pi/4 + 2k Pi = Pi.(5+ 8k)/4

arctg(2) + arctg(5) + arctg(8) = Pi.(5+ 8k)/4  mais il faut trouver la valeur de k dans Z qui convient.

Comme à la calculette on a arctg(2) + arctg(5) + arctg(8) , c'est k = 0 qui convient.

arctg(2) + arctg(5) + arctg(8) = 5Pi/4
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Oui Plancher mdr. Merci à J-P pour sa méthode, mais je n'aurai jamais fait le rapprochement avec les nombres complexes a++