Niveau Prepa (autre)

Arctan impaire

Posté par
adphi 23-11-20 à 23:35

Je dois démontrer que arc tan est impaire et je ne comprend pas la méthodologie
en passant par  une bijection réciproque

Si vous pouviez me détailler les étapes je pense que mon professeur va trop vite (pour mon niveau)
Voici la démo
On part de tan(x) =y.  Tan impaire donc tan(-x) = - tan(x).       Ça ok
Et donc arc tan (y) =x.                        Là ça coince
Et donc arctan(-y) =-x                         Argggg

Posté par re : Arctan impaire 23-11-20 à 23:59

Bonsoir

tu as x et y deux réels,   $x\in ]-\pi, \pi[$   et   $y\in\R$ , tels que   $\boxed{\tan(x)=y}$

tu as aussi $\tan(-x) = -\tan(x)$ , donc $\boxed{\tan(-x) = -y}$   c'est clair n'est-ce pas

Maintenant, par définition comme arctan est la fonction réciproque de tan, on l'applique aux deux égalités encadrées

et on obtient bien   $\arctan(y)=x$   et   $\arctan(-y)=-x$

Posté par re : Arctan impaire 24-11-20 à 00:04

Bonjour adphi.

arctan est la réciproque de la fonction tan.
Plus précisément :
tan est une fonction strictement croissante bijective de ]-/2;/2[ sur
Il existe donc une réciproque à cette fonction, notée arctan qui est donc une bijection de sur ]-/2;/2[

On a donc l'équivalence fondamentale suivante :

$\begin{cases} y = \tan(x) \\x\in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} {\red x = \arctan(y)} \\y\in \R \end{cases}$

On sait que $\tan(-x) = -\tan(x)$ .
Si on pose $y = \tan(x)$ , il vient $\tan(-x) = -y$ .

On va se servir de l'équivalence ci-dessus :

Si $x\in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ alors $-x\in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$
Si $y\in \R$ alors $-y \in \R$ .

Le conditions sont donc bien réunies pour écrire $\tan(-x) = -y\Leftrightarrow \blue -x = \arctan(-y)$

Mais $\red x = \arctan(y)$ donc $\blue -\arctan(y)= \arctan(-y)$

Ce processus se généralise : si une une fonction est impaire et bijective, sa réciproque est impaire.

Posté par re : Arctan impaire 24-11-20 à 00:08

Merci infiniment

Grâce à vous ma khôlle de demain devrait mieux se passer ...

Vous me l'avez expliqué très clairement, trop de révision m'embrume l'esprit

Bonne soirée

Posté par re : Arctan impaire 24-11-20 à 00:12

Ce merci va aux 2 contributeurs

Posté par re : Arctan impaire 24-11-20 à 00:15

oui bien sûr, c'est ]-pi/2,pi/2[, et non pas ]-pi,pi[ comme je l'ai dit dans mon message ... merci jsvdb

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