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Niveau Maths sup
Argument d'un complexe
Posté par Witaek
Bonjour, j'ai un peu de mal avec les fonctions trigo et j'en suis arrivé à un petit problème pour déterminer un argument.
Je dois déterminer l'argument de .
L'argument d'un quotient on a :
Donc pour trouver rapidement un argument en cours de physique, on nous dit que tout simplement : pour un complexe z = a+ib d'argument
en faisant bien attention au signe de a (si a < 0 alors = arctan(b/a)+
).
Seulement tout cela n'est valable que si tan est compris dans ]-/2 ; /2[.
Dans mon exemple : on a bien mais pour arg(1-6i) "-6" n'est pas compris dans le bon intervalle pour pouvoir utiliser arctan... ou du moins on aura pas arctan(tan(x)) = x dans le cas ou tan(x) = -6
Comment faire ?
Merci d'avance !
Pour être plus exact, si z=a+ib avec a,b réels et a>0, alors l'argument de z est arctan(b/a)
si a<0, il faut ajouter pi à l'angle trouvé, donc arctan(b/a)+pi
Ohlala excusez moi j'ai vraiment disjoncté à confondre x et tan(x)... Effectivement c'est plus clair...
Désolé d'avoir pris de votre temps 
si z=a+ib, alors sin(theta)=b/|z| donc sin(theta) est toujours du signe de b
de plus, ça n'a pas de sens de demander une condition sur le signe de sin(theta) pour définir theta, sinon d'où vient le theta employé dans sin(theta) ?
Je me suis mal exprimé. Si on considère z = a+ib vous me dites que si a<0 alors arg(z) = arctan(b/a) + pi
Existe-t-il une règle similaire dans le cas où b < 0 ?
Bopnjour !
Pour éviter de traîner DEUX expressions (avec disjonction de cas) on peut utiliser la relation :
Merci, effectivement cela fonctionne bien ! (sauf quand )
Par curiosité, comment démontre-t-on cette relation ?
Bonsoir,
Cette relation peut être démontrée géométriquement.
On place sur le plan complexe un point M d'affixe z , qui se projette en un point A sur l'axe des réels.
OA = R(z)
AM = I(z)
OM = |z|.
Ajouter le cercle de centre O passant par M permet de démontrer.