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Arithemtique

Posté par
Arnoloh 16-05-21 à 12:38

J'ai du mal avec cet exercice pouvez vous m'aider?

1) a) Déterminer les restes, suivant les valeurs de n, de la division de 3^n par 11 ?
b) En déduire les entiers n pour lesquels 3^n + 7 est divisible par 11.
c) En déduire que 135^2021 ≡ 3 (11)
2) Déterminer les entiers n tels que 2^n − 1 soit divisible par 9

1) je serai tenter de faire une table de congruence?
2) ajuster ma table avec +7

Posté par
lakere : Arithemtique 16-05-21 à 13:03

Bonjour,

  1)a) Oui :

   3^0\equiv ?\;\;[11]
   3^1\equiv ?\;\;[11]
   3^2\equiv ?\;\;[11]

   \vdots\qquad\vdots

Jusqu'à ce que tu retombes sur 1
Ensuite, tu réfléchis.

Posté par
Arnolohre : Arithemtique 16-05-21 à 13:11

3^4 ≡1(11) donc 3^n ≡1(11) ? je suis pas sur


Ensuite pour la 2) il faut que  3^n + 7≡0(11) donc n =1 d'apres mon tableau
et la 3)
135=12x11+3 donc 135 ≡3(11)

étant donné que 3^n≡1(11) donc 135^2021≡3^2021≡1^2021(11)?
donc 135^2021≡3(11)?

Posté par
lakere : Arithemtique 16-05-21 à 13:15

1)a) Pour commencer si tu veux bien. On est encore loin du compte :

Citation :
3^4 ≡1(11)


Non, tu t'es trompé. Il faut donner toutes les congruences des puissances successives de 3 (jusqu'à ce que tu retombes sur 1).

Posté par
Arnolohre : Arithemtique 16-05-21 à 13:18

3^1≡3(11)
3^2≡9(11)
3^3≡5(11)
3^4≡4(11)
3^5≡1(11)

??

Posté par
lakere : Arithemtique 16-05-21 à 13:25

Bien; tu observes un "cycle" de 5. Il est donc judicieux de regarder ce qui passe modulo 5 pour n; je commence :

3^{5k}\equiv (3^5)^k\equiv 1^k\equiv 1\;\;[11]

3^{5k+1}\equiv 3^{5k}\times 3^1\equiv 3\;\;[11]

3^{5k+2}\equiv 3^{5k}\times 3^2\equiv 9\;\;[11]

et tu continues avec 3^{5k+3} et 3^{5k+4}

Posté par
Arnolohre : Arithemtique 16-05-21 à 13:28

A quoi sert de remplacer n par 5k+...

33k+3≡3kx 33≡5(11)
33k+4≡3kx 34≡4(11)

Posté par
lakere : Arithemtique 16-05-21 à 13:33

Oui;

Citation :
A quoi sert de remplacer n par 5k+...

En procédant de cette manière, on a tous les restes de la division de 3^n par 11 suivant les valeurs de n modulo 5

On a bien répondu a 1)a) non ?

1)b) 3^n+7\equiv 0\;\;[11]\Longleftrightarrow 3^n\equiv 4\;\;[11]

Maintenant, tu peux répondre à la question avec 1)a).

Posté par
lakere : Arithemtique 16-05-21 à 13:36

J'ai dit "oui" mais tu as des erreurs que je suppose de frappe.

Posté par
Arnolohre : Arithemtique 16-05-21 à 13:38

lake @ 16-05-2021 à 13:36

J'ai dit "oui" mais tu as des erreurs que je suppose de frappe.
Oui c'est de erreur de frappe

sinon je veux bien une explication pour la 1b) svp
et la C) je vois pas du tout comment faire

Posté par
lakere : Arithemtique 16-05-21 à 13:40

L'explication est là :

  

Citation :
1)b) 3^n+7\equiv 0\;\;[11]\Longleftrightarrow 3^n\equiv 4\;\;[11]

Maintenant, tu peux répondre à la question avec 1)a).


Je ne vois pas quoi dire de plus.


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