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arithmetique
Salut voila un exercie de spe math où je bloque
On designe par n un entier naturel non nul
On note unle nombre dont l'écriture décimale est constituée uniquement de n chiffre 1:
un=11...11} n chiffre 1
Les nombres un s'appellent les rep-units
1/ Vérifier que le nombre u3est divisible par 3u1
2/a) Demontrer que: un=(10n-1)/9
b)Verifier que pour tous réels a et b, on a: a3-b3=(a-b)(a²+ab+b²);
demontrer que 103n-1 est divisible par 10n-1
c)En déduire que u3nest divisible par un
d)Demontrer que: 10n
1(mod3); en deduire que 102n+10n+1 est divisible par 3
e) Demontrer que u3n est divisible par 3un.
3/Demontrer qu'il existe une infinité d'entiers naturels dont l'ecriture decimale est constituée exactement de n chiffres 1 et qui sont divisibles par n.
Salut haru !
Je suppose qu'il y a des questions que tu as su faire ?...
Par exemple,
1. et
donc
Il s'agit donc de vérifier que 111 est divisible par 3... Te rappelles-tu du critère de divisibilité par 3 ?...
Emma 
Pour la question 2.a):
On te demande de vérifier que , pour tout n,
Cela revient à démontrer que pour tout n,
et donc que pour tout n, ...
Pour la question 2.b)
--> pour la première partie de la question : il suffit de développer le premier membre
--> pour la seconde partie... n'oublie pas d'utiliser la première partie !!
OK... je te laisse déjà voir avec ces indications...
N'hésite pas à redemander si tu bloques pour ces questions...
Et en règle générale, n'oublie pas : souvent, la question (c) se démontre en utilisant les questions (a) et (b)... D'autant plus lorsqu'on te dit 'en déduire' 
@+
Emma
Non, je pense que tu peux le faire directement : en utilisant les points de suspension et les accolades pour dire combien il y a de chiffres :
Soit n un entier naturel non nul quelconque : par définition,
____
n chiffres
donc
____
n chiffres
Et donc
tu vois ?
Bonjour haru,
Voilà comment je démontrerais le 2a:
On peut écrire le nombre un de cette façon: un = 10n-1 + 10n-2 + ... + 102 + 101 + 100
C'est-à-dire que un peut être considéré comme la somme de n termes d'une progression géométrique dont le premier terme est a0=100 et dont la raison est q=10.
La théorie nous dit qu'une telle somme vaut a0(1-qn)/(1-q)
En appliquant cette formule, on a directement le résultat demandé!
Pour le 2b, il faut considérer que 103n est 10n au cube... Je te laisse deviner la suite
Voilà, j'espère que ça peut t'aider
quand tu écris 322 ça veut dire 3*10^2+2*10^1+2*10^0
donc u(n) s'écrit comme a dit Ptit_belge:
un = 10^(n-1) +10^(n-2)+...+10^0
prends 111. Il y 3 chiffres dc n=3. Si tu fais :
111=10^2+10^1+10^0
tu vois que 2=3-1
D'où la puissance (n-1)
Au niveau de la rédaction, cette méthode est plus rigoureuse et élégante que la mienne
kajouravleva te l'a expliqué.
Je reprends sur un autre exemple :
Et comme ,
on a bien ,
pas de quoi haru 
c'était important : c'est la base de notre système décimal (le système que l'on utilise pour écrire nos nombres) !
je bloque pour le d)
Si 10n1(mod3)
alors 102n1(mod3)
donc 10n+102n+13(mod3)
donc 10n+102n+1 n'est pas divisible par 3
Non je ne sais vraiment pas
Je voulais dire que 3 cong 0 (mod 3)
d'où 10^n+10^2n+1 cong 0 mod 3
donc c'est divisible par 3
xy(mod z) cela veut dire qu'il existe k
tel que x=y+k*z
donc dans ton cas on a 10n+102n+13 (mod 3), donc 10n+102n+1=3+k*3=(k+1)*3 donc est divisible par 3
en fait si xz(mod z) alors x0(mod z) ce qui veut dire que z divise x
je suis bete 30(mod3)
je pensais que c'etait 31(mod3)
merci de me l'avoir rappeller kajouravleva
pour la 3/ je n'ai pas compris ce que demander l'exercie.
Est-ce quelqu'un pourrait m'expliquer s'il vous plait
Merci
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