Pense au petit théorème de Fermat.

Bonjour,

j'en ai parlé à des collègues dont un propose ceci en imposant la condition que N est premier :

on traite à part les cas où N=2 ; N=3 ; N=5 ; et N=7.

Pour N>7, N est premier avec 10 donc on peut écrire d'après le petit théorème de Fermat, N divise . Ce nombre ne s'écrit qu'avec des 9 donc on peut l'écrire 9*1111........1111. De plus, N est 9 sont premiers entre eux donc d'après le thm de Gauss, N divise 1111.....1111.

Pour la généralisation, ça coince encore...

salut

peut-être une idée qui généralise encore un peu plus ...

soit n un entier premier avec 10 (il faudra traiter le cas n pair ou multiple de 5 à part)

je note un entier qui ne s'écrit qu'avec des 0 et des 1

avec

n est premier avec 10 donc il existe des entiers u et v tels que

alors


ouais bon ça n'est peut-être pas folichon mais je le laisse car ça peut peut-être donner une idée à quelqu'un ...

(et parce que je suis depuis un petit moment ... mais sans intervenir car n'ayant pas d'idée)

Salut carpediem, je crois que je tiens un truc...

Soit n un entier :

où N est un nombre premier avec 2,3,5 (et donc avec 10) et les sont les valuations p-adiques.

Le théorème d'Euler dit que donc
N divise un nombre qui ne s'écrit qu'avec des 9 et comme N est premier avec 3, il est aussi premier avec 9. D'après le théorème de Gauss, tout entier N dont les valuations 2-adique, 3-adique et 5-adique sont nulles admet un multiple qui ne s'écrit qu'avec des 1. A présent je note M ce multiple.

On a donc M=KN (K entier) donc
On règle le problème des valuations 2 adique et 5 adique en multipliant par .
Cela donne .

Reste le problème du 3 ... je continue de chercher.

Deux coquilles dans mon post.

Lire "Le théorème d'Euler dit que "

et dans ma dernière formule, c'est un M et pas un N donc  

Bonjour manu_du_40,

il y a une démonstration élémentaire et très courte avec la suite (avec fois 1).

Puisque ne prend qu'un nombre fini de valeurs, il existe un couple avec tel que divise .

Joli

Merci jandri, vu comme ça, c'est très simple en effet.

Pensez-vous qu'on peut aboutir en utilisant le théorème de Fermat (ou d'Euler ?)

Bonjour,
j'avais une démo qui ressemble à celle de jandri sur le principe:
On prend N(N-1) puissances de 10 modulo N. N au moins seront égales (modulo N). Il suffit d'ajouter ces N puissances et on obtient un nombre constitué de 0 et 1. Comme c'est la somme de N fois le même nombre (modulo N), c'est un multiple de N.

Je trouve également que la démonstration que j'ai donnée est très belle mais ce n'est pas moi qui l'ai trouvée.

Le théorème d'Euler permet aussi de résoudre la question en écrivant que si est premier avec 10 alors :

Cette démo ne concerne que 40% des  nombres...

Exact mais pour avec premier avec 10 on multiplie le nombre obtenu pour par

Si j'ai bien compris la démonstration de 16h01, il y est démontré un peu plus que
"dont l'écriture en base 10 n'est composée que de 0 et de 1".

L'entier u_j - u_i s'écrit avec un certain nombre de 1 suivis d'un certain nombre de 0.
N divise D10^k, où D ne s'écrit qu'avec des 1.
Si N est premier avec 10, N divise D.

Tout entier premier avec 10 admet un multiple dont l'écriture en base 10 n'est composée que de 1.

ouais ... après avoir vu l'intervention de jandri je me suis souvenu des rep-unit !!

voir et

A Jandri:
Pour 60. On arrive à 3 qui donne 37 mais 3700*60 donne 222000. Bon je chipote et vois le truc mais c'est un peu plus complexe que ce que tu as écrit.

Merci à tous pour votre aide.

A jarod128,

tu n'as pas du bien lire ce que j'ai écrit le 22-10-20 à 19:08.

Puisque et 3 divise 111 on obtient que 60 divise

A Sylvieg

C'est bien cela, si est premier avec 10 il admet un multiple composé uniquement de 1