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arithmétique

Posté par
matlepir
12-08-08 à 19:49

Bonjour,
J'aimerai savoir si quelqu'un a une petite idée de démonstration pour :
Montrer que 3 divise ab(a²-b²).  bien sûr, (a;b)

Posté par
cailloux Correcteur
re : arithmétique 12-08-08 à 19:58

Bonjour,

Si a ou b sont multiples de 3 l' affaire est réglée.

Sinon a\equiv 1\;[3] ou a\equiv 2\;[3] ainsi que b

Alors a^2\equiv 1\;[3] et b^2\equiv 1\;[3]

Du coup a^2-b^2\equiv 0 \;[3]

Posté par
matlepir
re : arithmétique 12-08-08 à 20:01

oki merci...
Mais le petit problème c'est que je n'ai pas encore vu les congruences... Pourrais-tu me l'expliquer avec d'autres terme.??
MERCI!!

Posté par
cailloux Correcteur
re : arithmétique 12-08-08 à 20:06

Je dois m' absenter 1 heure.

Si personne ne t' a répondu, je le ferai tout à l' heure...

Posté par
matlepir
re : arithmétique 12-08-08 à 20:07

oki alors j'attends patiemment!

Posté par
plumemeteore
re : arithmétique 12-08-08 à 20:15

bonsoir Matlepir et Cailloux
ab(a²-b²) = ab(a+b)(a-b)
si a et b ne sont pas divisibles par 3, le reste de leur division par 3 est 1 ou 2
premier cas : les restes sont égaux soit r
a = 3*m + r; b = 3*n + r; a-b = 3*m + r - 3*n + r = 3*m - 3*n = 3*(m-n) : a-b est divisible par 3
deuxième cas : les restes sont différents, soient r et s
comme r et s sont différents et ne peuvent être que 1 ou 2, r+s = 3
a = 3*m + r; b = 3*n + s; a+b = 3*m + r + 3*n + s = 3*m + 3*n + r+s = 3*(m+n)+3 = 3(m+n+1) : a+b est divisible par 3

Posté par
matlepir
re : arithmétique 12-08-08 à 20:18

vraiment, MERCI!
Je suis un boulet, il faut l'avouer...

Posté par
amatheur22
re : arithmétique 12-08-08 à 20:38

Bonsoir matlepir
Le raisonnement de cailloux est excellent, mais si tu ne connais pas les congruences comme tu dis, tu peux détourner le problème comme suit:
Si a=3k ou b=3k' il n'ya rien à démontrer(c évident) sinon a=3k +1 ou a=3k+2
Idem b=3k'+1 ou b=3k'+2
Dans tous les cas on peut écrire a²=3n +1 et b²=3n'+1(je te laisse le soin de le vérifier par simple calcul)
Donc a²-b²=3(n-n') CQFD.

Posté par
matlepir
re : arithmétique 12-08-08 à 20:39

oki remerci alors!

Posté par
amatheur22
re : arithmétique 12-08-08 à 20:42

Rebonsoir
Désolé  plumemeteore
Quand j'ai commencé à rédiger mon courrier il n'y avait pas encore le tien.

Posté par
matlepir
re : arithmétique 12-08-08 à 20:55

dans tous les cas merci à tous, tout est rédigé!



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