Bonsoir

Tu peux montrer la proposition contraposée : si ni a, ni b, ni c n'est divisible par 5, alors a^2+b^2+c^2 ne peut pas être divisible par 5

On peut raisonner sur les restes modulo 5 de a (et b, et c)

Tu t'es trompé d'ailleurs dans ton calcul dans ton premier message

     n'est pas égal à          mais à    

Ok , si ni a , ni b , ni c n'est divisible par 5:
les restes possibles de la division euclidienne de a , b ou c par 5 sont 1 , 2 , 3 et 4

les restes de la division euclidienne de a² , b² ou c² sont : 1 , 4 , 4 , 1

Comment je dois procéder pour tous les restes possibles de la division euclidienne de a²+b²+c² par 5.

je préfère écrire 1, -1, -1 et 1, ça permet de s'y retrouver plus facilement. Ensuite, il n'y a pas mille choix pour la somme a^2+b^2+c^2 modulo 5

Soit r1 , r2 ,et r3 les restes respectifs des divisions euclidiennes de a² , b² et c² par 5 et R le reste de la division euclidienne de a²+b²+c² par 5
_ si r1=1 , r2=1 et r3=1 , R=3

_ si r1=1 , r2=-1 , r3=-1, R=-1

_ Si r1=-1 , r2=1 , r3=1 , R=1

_si r1=-1 , r2=-1 , r3=-1 , R=-3

Dans chaque cas on peut permuter les valeurs de r1 , r2 et r3.

Oui c'est bien ça, mais attention : R n'est pas le reste, c'est simplement que a^2+b^2+c^2 est congru à ton R modulo 5
ici on le voit particulièrement vu que tu as des valeurs négatives pour R. Ce n'est qu'un détail.

On peut raisonner sur le nombre N d'entre eux dont le reste du carré dans la division par 5 vaut -1, ça permet d'éviter d'avoir à formaliser la permutation. Encore une fois, c'est un détail :

N est un entier compris entre 0 et 3

si N vaut 0, alors R=3
si N vaut 1, alors R=1
si N vaut 2, alors R=-1
si N vaut 3, alors R=-3

fin de l'histoire

Ah d'accord , dans tous ces cas , a²+b²+c² n'est pas divisible par 5 .
Par contaposition si a²+b²+c² est divisible par 5 si au moins l'un des entiers a, b et c  est divisible par 5.