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Niveau Maths sup
arithmétique
Posté par dream22
Bonjour,
J'ai dû mal à faire un exercice d'arithmétique:
E= {(x,y,z)
²;x²+y²=z²}
1) pour tout (a,b) avec a>b montrer que (a²-b²,2ab,a²+b²) E
2)(x,y,z)E / pgcd(x,y)=1
a) montrer que pgcd(x,z)=1 et pgcd(y,z)=1
b) montrer que x et y sont de parité différente
c) on suppose que x impair et y pair.Montrer qu'il existe (p,q)² avec pgcd(p,q)=1 tel que x= p-q z=p+q et y²=4pq
montrer que p et q sont des carrés parfaits.
3) Déterminer E. Donner tous les triplets (x,y,z) de E tel que z
18.
J'ai réussi jusqu'à la question 2b) et ensuite je bloque.
MERCI D'avance pour votre aide.
Si x est impair et y pair alors z est impair et p = (z + x)/2 , q = (z - x)/2 sont dans * .
On a x = p - q , z = p + q et (puisque x2 + y2 = z2) 4pq = y2. de plus d = pgcd(p,q) divise x et z donc d = 1.
ah oui MERCI! je suis vraiment naze en arithmétique... et pour montrer que ce sont des carrés parfaits on regarde les diviseurs de chacuns et on vérifie si la somme est égale à eux-même? MAIS je ne vois pas comment trouver les diviseurs...
et pour montrer que ce sont des carrés parfaits on regarde les diviseurs de chacuns et on vérifie si la somme est égale à eux-même?
tu dois confondre avec nombres parfaits
de y²=4pq on tire que pq est un carré parfait.
or p et q sont premiers entre eux donc (on le voit en écrivant la décomposition en produits de facteur premiers) p et q sont des carrés parfaits.