Bonjour

n(n^4-1)=n(n²-1)(n²+1)=(n-1)n(n+1)(n²+1)

avec les 3 termes consécutifs n-1 n et n+1 tu as un multiple de 3


Je cherche pour le multiple de 5

Philoux

Bonjour, ca se fait bien avec le petit théorème de Fermat:
n^4-1 doit probablement toujours être multiple de 5
n(n^2+1)(n^2-1) doit probablement toujours être multiple de 3.

pour le multiple de 5

soit n est multiple de 5 => n(n^4-1) l'est

soit n n'est pas multiple de 5 => n s'écrit 5p+k avec k=1 ou 2 ou 3 ou 4

examinons n^4-1=(5p+k)^4-1= (5p'+p²)²-1=5p''+p^4-1

p=1 => p^4-1=0 divisible par 5

p=2 => p^4-1=16-1=15 divisible par 5

p=3 => p^4-1=81-1 divisible par 5

p=4 => p^4-1=256-1=255 divisible par 5

donc n^4-1 est divisible par 5 si n ne l'est pas

Il y a sûrement plus rapide mais ça ne vient pas

Philoux

Salut otto

mes lacunes théoriques me font utiliser des moyens... rustiques

Philoux

Salut,

J'ai fait comme philoux, et ensuite un petite étude de cas permet de sortir un multiple de 5 (si ni n, ni n+1, ni n-1 ne sont multpiles de 5, alors n2+1 l'est).

Sinon, ca fonctionne aussi avec une récurrence, mais il ne faut pas rechigner à la manipulation  des termes...

A+
biondo

Philoux:
Le théorème de Fermat (le petit) est un théorème qui n'est pas très sophistiqué, mais qui aide bien dans la simplification des calculs dans les ensembles Zn.
Notamment, il dit que si p est premier, et x non nul, alors x^(p-1)-1 est multiple de p.

Ici pour p=5 tout va bien.

Notamment, il peut se démontrer avec des moyens "rustiques"