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Niveau terminale
Arithmétique 5
Posté par Samsco
Bonsoir j'ai besoin de votre aide svp.
Exercice :
Déterminer les éventuelles couples (x , y) d'entiers vérifiant :
a) y³-x³=1
b) y>x et y³-x³=8
Réponses :
a) y³-x³=(y-x)(y²+xy+x²)
1=1×1=(-1)×(-1)
y-x=1 et y²+xy+x²=1
ou
y-x=-1 et y²+xy+x²=-1
_ y=x+1 et (x+1)²+x(x+1)+x²=1
=> x²+2x+1+x²+x+x²=1
=> 3x²+3x=0
=> 3x(x+1)=0
=> x=0 ou x=-1
Pour x=0 , y=1
Pour x=-1 , y=0
_ y=x-1 et (x-1)²+x(x-1)+x²=-1
=> x²-2x+1+x²-x+x²=-1
=> 3x²-3x+2=0
Cette équation n'admet pas de solution .
Ainsi , les couples vérifiant y³-x³=1 sont (0 ; 1) et (-1 ; 0)
b) y>x et y³-x³=8
y³-x³=(y-x)(x²+xy+x²)
8=2×4
8=1×8
8=(-2)×(-4)
8=(-1)×(-8)
J'ai essayé de comparer y-x et x²+xy+y² en faisant la différence x²+xy+y²-y+x.
Je n'arrive pas à trouver le signe de cette différence.
Bonjour,
Pour b) on a déjà une solution évidente : x = 0 et y = 2
Ensuite, tu peux tester les cas y-x = -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8
par exemple y-x = 4 donc x²+xy+y² = 2
y = y+4
(x+4)² + x(x+4) +x² = 2
3x² + 12x + 14 = 0
< 0 donc pas de solution réelle donc pas de solution entière.
Etc...
Citation :
Je ne vois pas à quoi sert \; y > x \; dans b) :
Si \; y3 - x3 = 8 \; alors \; y > x .
Je ne vois pas à quoi sert \; y > x \; dans b) :
Si \; y3 - x3 = 8 \; alors \; y > x .
Bien vu Sylvieg, donc on peut se limiter à tester les cas y-x = 1, 2, 4, 8
Sylvieg @ 13-01-2021 à 10:01
Si
y3 - x3 = 8 alors y > x .
Si
y³-x³=8 => (y-x)(x²+xy+y²)=8
Pour que y>x ,il faut que x²+xy+y²>0
x²+xy+y²=x²+yx+y²
∆=y²-4y²=-3y² ≤ 0
x²+xy+y²=0 n'admet pas de solution.
Le signe de x²+xy+y² est donc celui de 1 , x²+xy+y²>0
Donc y>x
Bonjour à nouveau,
@Samsco,
En terminale, on est censé connaître le sens de variation de la fonction cube.
Elle est croissante sur 
.
Si y 
x alors y3 - x3 0 car y3 x3.
Par contraposée, si y3 - x3 > 0 alors y > x.
_Pour y-x=1 , y²+xy+x²=8
=> (x+1)²+x(x+1)+x²=8
=> 3x²+3x+1=8
=> 3x²+3x-7=0
Cette équation n'admet pas de solution dans Z.
_Pour y-x=8 , y²+xy+x²=1
=> (x+8)²+(x+8)x+x²=1
=> x²+16x+64+x²+8x+x²=1
=> 3x²+24x+63=0
Cette équation n'admet pas de solution dans Z.
_Pour y-x=4 , y²+xy+x²=2
=> (x+4)²+(x+4)x+x²=2
=> x²+8x+16+x²+4x+x²=2
=> 3x²+12x+14=0
Cette équation n'admet pas de solution dans Z.
_Pour y-x=2 , y²+xy+x²=4
=> (x+2)²+(x+2)x+x²=4
=> x²+4x+4+x²+2x+x²=4
=> 3x²+6x=0
=> x=0 ou x=-2
Les couples vérifiant y³-x³=8 sont (0 ; 2) et (-2 ; 0)
pour s'amuser : peux-tu montrer simplement ET en travaillant dans Z que les équations qui n'ont pas de solution n'ont pas de solution ?