N'y a-t-il pas une erreur d'énoncé, car le problème posé n'a pas de solution... 147=3*7^2 premier avec 5, donc aVb divisible par 5 donc a ou b divisible par 5
(a+b)^2 est divisible par 7^2 donc a+b par 7
(a+b)^2 est divisible par 3, donc par 3^3, donc a+b par 3 et aVb par 3, donc a et b par 3; posons a=3a', b=3b'; aVb=3 a'Vb' donc 5 (a'+b')^2=49 (a'Vb')
si a' et b' divisibles par 49, a'=49a", b'=49b" ; 5(a"+b")^2=a"Vb" a" et b" sont premiers entre eux (car tout facteur commun apparaitrait au carré dans le premier membre, mais pas dans le second) et a"Vb"=a"b" et l'égalité 5(a"+b")^2=a"b" est impossible ((a"+b")^2>4a"b")
si a' et b' ne sont pas divisibles par 49, ils sont premiers entre eux (même raisonnement que ci dessus, tout facteur commun autre que 7 apparaitrait au carré dans le premier membre, mais pas dans le second, et ils ne peuvent être divisibles par 7, car 7 apparaitrait au carré dans le premier membre et au cube dans le second) donc a'Vb'=a'b' et 5(a'+b')^2=49a'b' avec x=a'/b'
on tombe sur l'équation 5x^2-39x+5=0 dont les solutions ne sont pas rationnelles.

Sauf erreur...

Bonsoir,

je ne suis pas tout à fait d'accord avec piepalm

tout d'abord la solution (0,0) est évidente.

Ensuite, supposons et posons le ppcm de a et b.


Dans ce cas




L'égalité devient

Comme on vient de voir que est premier avec (et avec ), divise et on montre rapidement que nécessairement

On a donc

Quitte à inverser les rôles de a et b, on peut supposer que 5 divise
Comme

En conclusion

Pan sur les doigts!
En effet, mon affirmation ci-dessous est fausse:
tout facteur commun autre que 7 apparaitrait au carré dans le premier membre, mais pas dans le second,
J'ai oublié le cas où un facteur premier est commun à a et b et apparait au carré dans a (ou b) seulement
Désolé, et merci pour la correction

merci pour votre aide. j'avais pensé a utlisé a ^ (a+b)=1, ...