déjà : n(n⁴ - 1) = (n - 1) n (n + 1) (n² + 1)
puis congruence selon congruence de n [5]

je comprends pas : puis congruence selon congruence de n [5]

...

Bonjour, alors pour le démontrer avec des outils de 1 ère, tu peux par exemple écrire que :

n(n⁴-1)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 5n(n²-1) (développe et montre que ça redonne bien n⁵-n

le premier terme est le produit de 5 nombres consécutifs donc forcement divisible par 5 (car dans 5 nombres consécutifs, il y a toujours un multiple de 5). Le second est également divisible par 5. Donc la somme des deux est divisible par 5.

merci à Glapion d'être intervenu.
Je n'avais pas vu qu'il s'agissait d'un exo de 1°.

Merci beaucoup

Bonjour
à Glapion  bien vu tout simple après coup mais faut le trouver et bravo
A++

C'est vrai que ça a l'air un peu miraculeux comme ça. Mais en fait je l'ai fait à l'envers. je me suis rappelé que par exemple pour montrer que (n-1)n(n+1) est divisible par 6 on dit que c'est 3 nombres consécutifs donc divisible par 2 et par 3.

Donc je me suis dis, ça serait drôlement bien si n(n⁴-1) pouvait être le produit de 5 nombres consécutifs donc (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) et donc je me demandé ce que faisait n(n⁴-1) - (n-1)n(n+1)(n+2) et là miracle je suis tombé sur un truc qui était également divisible par 5.

Bonjour,

ceci dit la méthode Pgeod, expurgée du "vocabulaire hors niveau" (congruences) fonctionne tout aussi bien :

il n'y a que 5 possibilités pour un nombre :
soit c'est un multiple de 5
soit c'est un multiple de 5 + 1
soit c'est un multiple de 5 + 2
soit c'est un multiple de 5 + 3 que l'on peut tout aussi bien dire le multiple suivant - 2
soit c'est un multiple de 5 + 4 que l'on peut tout aussi bien dire le multiple suivant - 1

alors l'expression factorisée (identité remarquable, c'est du niveau !)
n(n-1)(n+1)(n²+1) donne pour chacun des cas :
multiple de 5 : évident
multiple de 5 1 : évident aussi

reste les multiples de 5 2, c'est à dire les nombres de la forme n = 5k 2
pour lesquels il faut montrer que n² + 1 est multiple de 5.

il suffit de développer (5k 2)² + 1 et le tour est joué

sans "boule de cristal", ni "congruences" (en fait congruences planquées sans dire leur nom)

Grand merci pour vous tous vraiment c'est génial
je me demande parfois je ferais quoi sans ce site