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Niveau première
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arithmétique

Posté par
omartborbi
14-02-14 à 20:00

Bonsoir , je bloque dans cet exercice .. merci pour votre aide
- Montrer que pour tout entier premier p tel que p \ge 5 , p²-1 est divisible par 24

il suffit de montrer que 8 et 3 divise p²-1 , mais j'arrive pas à ce résultat !!

j'ai écrit p²-1=(p-1)(p+1) et puisque p est impair ( car il est premier ) alors (p-1) et (p+1) sont pairs donc p²-1 est divisible par 4
on a aussi (p-1),p,(p+1) 3 entiers consécutifs donc l'un d'eux est multiple de 3 or p est premier et p>3 donc p-1 ou p+1 est multiple de 3
donc j'ai montré que p²-1 est divisible par 3 et 4 mais comment continuer ? merci

Posté par
Yzz
re : arithmétique 14-02-14 à 20:07

Salut,
p-1 est un multiple de 2 donc p-1 = 2k. d'où p+1 = 2k+2 = 2(k+1). Donc p²-1 = 2k*2(k+1) = 4k(k+1).
Or k et k+1 sont deux entiers consécutifs, donc l'un d'eux est un multiple de 2...

Posté par
pgeod
re : arithmétique 14-02-14 à 20:16

(p-1) et (p+1) sont pairs avec p-1 4
ce sont 2 entiers pairs consécutifs. L'un deux est multiple de 4.

dis autrement :
(p-1) et (p+1) sont pairs, ils s'écrivent 2k et 2(k+1)
or parmi k et k+1, l'un des deux est pair

Posté par
pgeod
re : arithmétique 14-02-14 à 20:18

bonjour Yzz

Posté par
Yzz
re : arithmétique 14-02-14 à 20:21

Salut pgeod  



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