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arithmétique

Posté par
omartborbi 22-05-15 à 18:59

Bonjour , je bloque sur cet exercice .

On considère le système (S) : \left\lbrace\begin{array}l t\equiv-4(mod19)\\ t\equiv4(mod17) \end{array}

1)
j'ai démontré que les solutions du système (S) sont les entiers t de la forme t=323k+72 ( k entier )

je bloque sur cette question :

2) Soit t une solution  système (S)
a.montrer que t^{36}\equiv1(mod323).

b.vérifier que t^{30}\equiv7(mod19) et t^{30}\equiv-1(mod17)

merci pour votre aide

Posté par
sasaki93re : arithmétique 22-05-15 à 19:12

Bonsoir,

a) D'après la première question si t est solution du systéme (S) alors, t\equiv 72[323].
Tu dois savoir (cela doit être dans ton cours) que si t\equiv 72[323] alors t^36\equiv 72^36[323].
Ainsi, il te reste à calculer 72^36 modulo 323. Evidemment, c'est un nombre énorme donc il ne faut pas chercher à effectuer la division euclidienne directement. L'idée, encore une fois, est de se servir des propriétés que tu connais sur les congruences. Par exemple, si tu sais que 72^2\equiv a [323] alors (72^2)^18\equiv a^18 [323]. Et, 72^2 est déjà beaucoup plus petit que 72^36 et il est raisonnable d'effectuer une division euclidienne.

Tu comprends ?

Posté par
omartborbire : arithmétique 22-05-15 à 19:25

merci pour votre réponse
je trouve de ce démarche que  t^{36}\equiv16^{18}(mod323). ( que je peux l'obtenir directement à partir du système )
mais comment continuer ?!

Posté par
alainpaulre : arithmétique 22-05-15 à 19:47

Bonjour,


323=17*19



Alain

Posté par
sasaki93re : arithmétique 22-05-15 à 19:52

Je n'ai pas vérifier vos calculs. Mais à partir de t^{36}\equiv 16^{18} [323] pourquoi ne pas refaire le même argument que précédemment: 16^{18}\equiv (16^3)^6 [323].

Posté par
omartborbire : arithmétique 22-05-15 à 23:09

Bon je trouve une autre méthode en effet :
t=4[17] donc t²=-1[17] donc t^{36}=1[17] donc t^{36}-1=0[17]
t=-4[19] donc 19 ne divise pas t donc t^{18}=1[19] (Fermat) donc t^{36}=1[19] donc t^{36}-1=0[19]
or 19 et 17 sont premiers entre eux donc t^{36}-1=0[323] donc
t^{36}=1[323]
pour
b) t=4[17] donc t²=-1[17] donc t^{30}=-1[17]
t=-4[19] donc t^6=11[19]=-8[19]
donc t^{30}=(-8)^5[19]=7[19]

Posté par
sasaki93re : arithmétique 23-05-15 à 04:17

Effectivement, en utilisant le théorème de Gauss, tu peux t'en sortir.

Cependant, qu'aurais tu fais si jamais tu n'avais pas trouvé la même valeur modulo 17 et modulo 19? Dans ce cas, tu n'aurais pas pu appliqué le théorème de Gauss. Tu te serais retrouvé avec un système (S') du même type que (S) qu'il aurait fallu résoudre. C'est possible et c'est même la méthode optimale pour ce genre de question. Mais en terminale tu n'es pas censé savoir résoudre ce genre de  système.

La méthode, plus naïve, que je t'ai proposé au départ, est quand même à retenir.

Posté par
Cherchellre : arithmétique 23-05-15 à 06:33

Regarde ici , j'ai essayé de rédiger une correction simple de ton exercice

Posté par
omartborbire : arithmétique 23-05-15 à 13:33

Merci pour vous tous


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