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Arithmétique
Bonjour, pouvez-vous m'aider svp? Voici l'énoncé:
a et b sont deux nombres entiers dont le PGCD est égal à 42 et dont le produit est égal à 127 008.
Donner toutes les valeurs possibles pour a et b.
Bonjour,
le PGCD de a et b est 42 traduit qu'il existe deux entiers x et y tels que a = 42x et b = 42y et x et y n'ont aucun diviseur commun
écrire le produit ab en termes de x et y et simplifier
chercher alors x et y satisfaisant à la relation obtenue : x et y sont des diviseurs de blabla et doivent ne pas avoir de diviseurs commun
si tu as vu la décomposition en produit de nombres premiers, c'est instantané
sinon tu fais un tableau des diviseurs de blabla.
as tu seulement écrit ce que je te proposais ??
en l'écrivant effectivement cela devient évident.
que ne comprends tu pas ? la définition de PGCD ?
ce que veux dire :
écrire le produit a*b avec a = 42x et b = 42y ??
On sait que ab= 127 008 soient x,y deux inconnues.
On a a= x*42 et b= y*42
(x*42) (y*42)= xy* 1764= 127 008
Valeurs possibles qui donnent 72=
72= 36*2 a=36*42=1512 b=336
72=9*8 a=9*42=378 b=336
72=18*4 a=18*42=756 b=168
72=6*12 a=6*42=252 b=504
Est-ce que c'est cela?
la rédaction est "bizarre"
soient x,y deux inconnues.
si 42 est le PGCD de a et de b, par définition il existe deux nombres x et y (oui ce seront des inconnues effectivement) tels que
a = 42*x
et b = 42*y
et x, y n'ont aucun diviseur commun
si 42 est un diviseur de a c'est qu'il existe un entier y tel que a = 42*y, c'est la définition de "diviseur")
et x et y n'ont aucun diviseur commun (sinon 42 ne serait pas le plus grand diviseur commun : si x et y étaient tous deux divisibles par k, 42*k serait un diviseur commun de a et b)
dire "soient deux inconnues x et y" ne rime à rien
ce qu'il faut dire c'est qu "il existe deux nombres entiers x et y tels que"
(et évidemment que c'est des inconnues, puisque pour l'instant on ne connait ni a, ni b et donc ni x ni y)
ton 72 vient comme un cheveu sur la soupe
de xy * 1764 = 127 008
tu dois écrire explicitement :
"donc en simplifiant
xy = 72"
et donc maintenant tu dois chercher tous les diviseurs de 72
pas seulement ceux qui te viennent à l'esprit.
72 = 1*72 : x = 1 y = 72 OK (le seul diviseur commun à 1 et 72 est 1)
= 2* 36 : x = 2, y = 36 ne convient pas car ils ont un diviseur commun 2
= 3* 24 : x = 3, y = 24 ne convient pas car ils ont un diviseur commun 3
= 4*18 : x = 4, y = 18 ne convient pas car ils ont un diviseur commun 2
etc
jusqu'à
= 8*9 : x = 8, y = 9 OK (pas de diviseur commun à 8 et à 9, autre que 1)
et les seules valeurs de x et de y qui conviennent sont :
x = 1, y = 72 ou le contraire, donc a = 42 et b = 42*72 = 3024 ou le contraire
...
x = 8, y = 9 ou le contraire, donc a = 8*42 = 336 et b = 9*42 = 378 ou le contraire
(y en a-t-il d'autres ? à toi de voir en listant explicitement toutes les façons d'écrire 72 sans en oublier et pour chacune à voir si elle convient ou pas
en tout cas ton a = 1512, b = 336 ne convient pas car leur PGCD est 84 et pas 42
(parce que x et y ont le facteur 2 en commun et donc le PGCD de a et b est 2*42 = 84)
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