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Arithmétique
Bonsoir a tous
Pouvez-vous m'aider sur cet exercice dont l'ennoncé est:
Trouver toutes les valeurs de x et y telles que le nombre
26x95y dans le systeme decimale soit divisible par 3 et 11.
Et je sais qu'un nombre est divisible par 3 si la somme des chiffres est divisible par 3.
Et on a:
2+6+x+9+5+y=22+x+y
22+x+y est multiple de 3
22+x+y=3k avec k
.
Mais pour 11 je ne sais pas comment faire.
Bonsoir
Pour déterminer si un nombre N est divisible par 11 :
on calcule la somme A des chiffres en position impaire ;
on calcule la somme B des chiffres en position paire ;
N est divisible par 11 si et seulement si la différence A - B (ou B - A) est divisible par 11.
Cela revient à effectuer la somme alternée de ses chiffres.
Bonjour
il existe un critère de divisibilité par 11, certes moins connu que celui par 3 ou 9, qui donne directement la deuxième équation cherchée.
(PS : donné par kenavo27)
on peut le retrouver (et donc il n'est pas nécessaire de le connaitre à priori pour cet exo) en écrivant explicitement le développement décimal, sous la forme :
2*105 + 6*104 + x*103 + etc + y
et en calculant (en fonction de x et y) le reste de la division par 11 de cette expression (calculs modulo 11)
c'est d'ailleurs comme ça qu'on fait pour démontrer les règles de divisibilité par 3 ou 9 !!
ah que on aurait demandé qu'il soit multiple de 13 que "réciter" un critère n'aurait pas été si simple
mais la méthode générale avec les modulo marcherait exactement aussi bien par contre.
je pense que côté rédaction il faut calculer comme j'ai dit et pas "réciter" quelque chose qui n'a jamais été vu en cours ...
surtout de travers : pour le critère modulo 11, il s'agit de multiples de 11, pas de 3, donc un "11k" pas un 3k" pour celui là
de plus k n'est pas k partout
ce sont deux k différents, un pour divisible par 3 : x+y = 3k -1
et un autre, indépendant, appelons le m, pour multiples de 11
x-y = ... + 11m
appeler tout du même nom k est un piège profond.
comme du coup ça nous fait 4 inconnues, il faudra ajouter que x et y sont tous deux dans [0, 9]
et remplacer le calcul sauvage par du raisonnement.
pas clair tout ça ....
1/ x + y + 1 = 3p et inutile d'y toucher pour l'instant !!!
2/ traduction de la multiplicité par 11 ????
tu sembles fâché avec les signes quand tu les passes de gauche à droite d'un signe "=" ...
ou simplement quand tu recopies quelque chose ...
tu avais écrit à 20:20 : x-y=3k+8
le 3k n'est pas bon (signalé) c'est un 11m
donc tu remplaces par x-y=11m - 8
faudrait savoir si c'est +8 ou -8 !!
en tout cas comme je le disais, maintenant avec ces 4 variables et 2 relations seulement c'est la pagaille et le plus efficace va être de faire un tableau avce trois lignes :
y de 0 à 9
valeur correspondante de x (unique !!) résultant de la relation modulo 11
calcul de x+y modulo 3
et conclure à partir de ce tableau.
les valeurs qui conviennent a x et y sont:
pour x=1 et y=4 on a 3k=6 et 11m=-11.
pour x=8 et y=0 ona 3k=9 et 11m=0.
d'ou 261954=3*87318 et 261954=11*23814.
et encore 268950=3*89650 et 268950=11*24450
et comme tu as cherché ça à mon avis au pif au lieu de faire un tableau systématique, il en manque un.
compléter sytématiquement chaque ligne
pour chaque valeur de y, calculer x par x = y+8 modulo 11
puis calculer x+y+1 modulo 3
y x mod 11 x+y+1 mod 3
0 8 0 solution 268950 trouvée
1 ... ... pas solution
2 ... ...
3 ... ...
4 1 0 solution 261954 trouvée
5 ... ...
6 ... ...
7 ... ...
8 ... ...
9 ... ...certes, et la construction systématique du tableau précédent montre qu'il n'y en a pas d'autre que ces trois là
salut
une proposition de solution
N = 26X95Y
N = 2.10^5 + 6.10^4 + X.10^3 + 9.10² + 5.10 + Y
divisibilité par 3:
on sait que 10=-1[3] , alors :
Y=Y[3]
5.10=2[3]
9.10²=0[3]
X.10^3=X[3]
6.10^4=0[3]
2.10^5=2[3]
en effectuant la somme il vient N = X+Y+4[3] il faut aussi que
X+Y+4=0[3] alors X+Y=-4[3] ou encor X+Y=-1[3].
divisibilité par 11:
on sait que 10=11-1 alors 10=-1[11] , alors :
Y=Y[11]
5.10=-5[3]
9.10²=9[3]
X.10^3=-X[11]
6.10^4=6[11]
2.10^5=9[11]
en effectuant la somme il vient N = -X+Y+30 [11] il faut aussi que
-X+Y+30=0[11] alors -X+Y=-8[11] ou encor -X+Y=3[11].
on a donc deux équations:
X+Y=-1[3].
-X+Y=3[11].
X+Y ne peut depasser 18 car X et Y sont compris chacun entre 0 et9
donc 3k'-1 
18 et k'6.
-X+Y=11k+3 avec le meme critère |Y-X | est maximisé par 9
dans le cas ou Y-X > 0 soit Y > X , k ne peut etre que nul donc k = 0
on a les sytemes possibles suivants :
X+Y=17 --> X=7 et Y=10 ne convient pas
Y-X=3
X+Y=14 --> les solutions ne sont pas entieres
Y-X=3
X+Y=11 --> X=4 et Y= 11 ne convient pas
Y-X=3
X+Y=8 --> les solutions ne sont pas entieres.
Y-X=3
X+Y=5 --> X= 1 et Y= 4 convient on peut donc deja retenir 261954
Y-X=3
X+Y=2 --> les solutions ne sont pas entieres .
Y-X=3
dans le cas ou -X+Y < 0 la seule valeur de k possible est k=-1
on a donc
X+Y=17 --> X=7 et Y=10 ne convient pas
Y-X=-8
X+Y=14 -->ne convient pas
Y-X=-8
X+Y=11 --> X=4 et Y= 11 ne convient pas
Y-X=-8
X+Y=8 -->X=8 et Y =0 on peut retenir 268950 et 261954 qui conviennent
Y-X=-8
X+Y=5 --> ne convient pas
Y-X=-8
X+Y=2 -->ne convient pas
Y-X=-8
on a donc 268950 et
il y a bien 3 solutions (déja trouvées)
si tu n'en trouves que deux c'est qu'il y a une erreur ou des oublis de cas dans tes calculs car inutilement compliqués
plutôt que de résoudre le système un paquet de fois à partir d'une disjonction de cas (!) sur k et k' (c'est là qu'on risque d'en oublier), on calcule directement x en fonction de y pour y de 0 à 9 sans état d'âme.
à partir de x = y + 8 [11] ou x = y - 3 [11], équivalentes mais choisir l'une ou l'autre donne directement 0≤x≤9 quasiment "sans aucun calcul"
puis on calcule pour chacun de ces 10 cas la valeur de x+y [3]
c'est à dire on complète le tableau déja cité ... 
ce qui une fois qu'on a obtenu les relations "modulo" entre x et y est quasi instantané !!
il se complète au fur et à mesure qu'on l'écrit, pratiquement sans aucun calcul autre que de simples additions ou soustractions de tête à un chiffre !!
a/ x et y sont des chiffres
b/ x + y + 1 = 3p
c/ x - y - 8 = 11q
avec b/ on obtient :
il est alors aisé de tester c/
on remarquera que x <> y d'ailleurs
...
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