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Niveau terminale
Arithmétique
Posté par Fifooou
Salut ! Merci de m'aider a terminer cet exercise :
(a,b) appartiennent à Z et le pgcd(a,b)=1 et d appartient à N montrer que d/ab => ils existent un seul d' et un seul d'' appartiennent à N tels que d'/a et d"/b et d=d'd".
Voilà ce que je fais pour l'instant :
On pose : pgcd(a,d)=d' et
pgcd (b,d)=d'' , alors d"/ d et d'/d ,
J'ai montre que le pgcd(d',d")=1 alors d'd"/ d maintenant il faut que je montre que d/d'd" . Svp quelques demarches pour cela !!
Merci en avance !
Bonsoir, je suis sur le brouillon pour voir si je peux apporter une aide, mais même si sa n'a pas marcher chez-moi j'espère qu'il aura d'autre personne. Ne t'inquiète pas!
Bonsoir,
Citation :
J'ai montré que pgcd(d',d")=1 alors d'd"| d
J'ai montré que pgcd(d',d")=1 alors d'd"| d
Comment as-tu procédé ?
Sinon et assez simplement, d'après Bézout, il existe
de sorte que
En utilisant l'hypothèse
issanui merci pour ton effort.
ThierryPoma pour montrer que d'^d"=1
On pose d'^d"=D
D/d' et D/d" et d'/a et d"/b alors D/a et D/b donc D /a^b D/1 alors D=1...
Alors j montrer que d'd"/d
Mn probleme c que j n'arrive plus a montrer que d/d'd" ?! :/
Une idée :
Le cas où d' 
1 et d''1
on sait que d/ab or d ne divise pas a et b, d'=a^d 
d'/d . soit q le quotient de la division de d par d', q ne peut être qu'un diviseur commun de b et d, or d''=b^d et d'd''/d, donc q=d'' , d'où d'd''=d.
Remarque :
d est le produit d'un diviseur commun de a et d et d'un diviseur commun de b et d, donc d=<d'd'' et d'd''/d , d'où d=d'd''.
Bonjour,
Suite à mon message du 29-04-17 à 23:40 : D'après Bézout, il existe tel que
de sorte que
Or, par hypothèse, et comme
, il s'ensuit que
, comme attendu.