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Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 19:16

Eh oui!

On va finir par arriver aux formules de 14h23

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 19:57

Citation :
5) On note P=\begin{pmatrix}\sqrt{3} & \sqrt{3}\\-1 & 1 \\ \end{pmatrix}, montrer que D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}b & 0\\0 & a \\ \end{pmatrix}.


D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{6} & -\frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{1}{2} \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2 & 3\\1 & 2 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}\sqrt{3} & \sqrt{3}\\-1 & 1 \\ \end{pmatrix}
D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\frac{-3+2\sqrt{3}}{6} & \frac{-2+\sqrt{3}}{2}\\\frac{3+2\sqrt{3}}{6} & \frac{2+\sqrt{3}}{2} \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}\sqrt{3} & \sqrt{3}\\-1 & 1 \\ \end{pmatrix}
D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2-\sqrt{3} & 0\\0 & 2+\sqrt{3} \end{pmatrix}
D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}b & 0\\0 & a \\ \end{pmatrix}

Posté par
carpediemre : Arithmétique 21-04-18 à 20:00

la dernière ligne est inutile ...

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 20:05

Citation :
En déduire que A^n=PD^nP^{-1} pour tout entier naturel n.


D=P^{-1}AP \\ PD=AP \\ PDP^{-1}=A

Pour en déduire A^n=PD^nP^{-1} je pense faire une récurrence (avec D^n matrice diagonale).

Posté par
carpediemre : Arithmétique 21-04-18 à 20:20

bla bla bla ...

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 20:20

?

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 20:22

Je n'ai pas vérifié tes calculs' mais je te pense honnête. Si tu es arrivé au résultat, c'est bon.

La récurrence n'est pas une mauvaise idée.

De fait, l'initialisation est faite. Reste l'hérédité qui n'est pas trop. compliquée.

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 20:29

Avant de me lancer dans la récurrence de A^n dois-je aussi démontrer par récurrence que D^n est diagonale ?

Posté par
carpediemre : Arithmétique 21-04-18 à 20:51

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 20:52

carpediem @ 21-04-2018 à 20:51



Que se passe-t-il ?

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 20:56

5) Prérequis:

D = P^{-1}AP
PD = PP^{-1}AP
PD = AP
PDP^{-1} = A

Définition : Pour tout entier naturel n on note P(n) la propriété définie par « A^n = PD^nP^{-1}.

Initialisation : pour n = 0, on a : PD^0P^{-1} = PI_2P^{-1} = I_2=A^0.

La propriété P(n) est donc initialisée au rang n = 0.

Hérédité :

Supposons que la propriété P(n) définie par « A^n = PD^nP^{-1} » est vraie pour un entier naturel n.

Démontrons alors que P(n+1) définie par « A^{n+1} = PD^{n+1}P^{-1} » est également vraie.

A^{n+1} = A^n \times A

où A^n = PD^nP^{-1}.

Ainsi, on obtient l'égalité suivante :

A^{n+1} = A^n \times A
A^{n+1} = PD^nP^{-1} \times PDP^{-1}
A^{n+1} = PD^nI_3 \times DP^{-1}
A^{n+1} = PD^n \times DP^{-1}
A^{n+1} = PD^{n+1}P^{-1}

La propriété P(n) est donc vraie au rang suivant, elle est donc héréditaire.

Conclusion :

Finalement, le principe de récurrence permet d'affirmer que pour tout entier naturel n, la propriété P(n) est vraie du fait qu'elle soit initialisée au rang n = 0 et héréditaire.

Posté par
carpediemre : Arithmétique 21-04-18 à 20:56

à presque un mois du bac et bientôt dans le supérieur peut-être serait-il temps de te prendre en charge et devenir autonome ...

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 20:56

Mais par définition, on sait que:

D=\begin{pmatrix}b&0\\0&a{\end{pmatrix}

  et du coup, il est immédiat que:

D^n=\begin{pmatrix}b^n&0\\0&a^n{\end{pmatrix}

Bien sûr, on pourrait faire une récurrence mais je pense que ce n'est pas l'objectif principal ici.




Posté par
carpediemre : Arithmétique 21-04-18 à 20:57

et il est évident que le produit de deux matrices diagonales est diagonale ... quand on sait multiplier deux matrices ...

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 20:59

La récurrence de 20h56 est correcte

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 20:59

Je me répète : je suis d'accord avec toi mais même si c'est "évident" comme tu dis, j'ai déjà été obligé de le démontrer. Visiblement, ici c'est inutile, je l'entends bien.

20h56 : juste ?

Posté par
carpediemre : Arithmétique 21-04-18 à 21:08

absolument pas !!!

dans la question (mais quel est l'énoncé ?) il n'est pas demandé D^n il est demandé de montrer que A^n = P D^n P^{-1}

et c'est parce que D^n est trivial qu'on pourra calculer a^n ...


et tes démonstrations sont d'un formalisme mécanique tristement ... mécanique et sans humanité ...

ça risque de faire mal en prépa ... (si c'est ton souhait)

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 21:09

Dernière question pour conclure cet exercice :

Citation :
6) Donner X_0 puis en déduire X_n en fonction de n.


X_0 = \begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}.

On sait que X_{n+1}=AX_n donc X_n=AX_{n-1} ce qui permet de déduire X_n=A^nX_0.

X_n = \begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}.

La suite est du simple calcul matriciel que je sais faire.

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 21:10

carpediem @ 21-04-2018 à 21:08

absolument pas !!!

dans la question (mais quel est l'énoncé ?) il n'est pas demandé D^n il est demandé de montrer que A^n = P D^n P^{-1}

et c'est parce que D^n est trivial qu'on pourra calculer a^n ...


et tes démonstrations sont d'un formalisme mécanique tristement ... mécanique et sans humanité ...

ça risque de faire mal en prépa ... (si c'est ton souhait)


Tu me diras à quel moment je n'ai pas démontré A^n à 20h56.
Tes remarques sont inutiles.

Posté par
carpediemre : Arithmétique 21-04-18 à 21:11

dommage de ne pas comprendre ce que je te dis ... pour ton bien évidemment ...

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 21:12

carpediem @ 21-04-2018 à 21:08

absolument pas !!!

dans la question (mais quel est l'énoncé ?) il n'est pas demandé D^n il est demandé de montrer que A^n = P D^n P^{-1}


"montrer que [tex]A^n = P D^n P^{-1}" =====> a été fait à 20h56.

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 21:13

Il n'y a plus qu'à calculer PD^nP^{-1}

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 21:14

lake @ 21-04-2018 à 21:13

Il n'y a plus qu'à calculer PD^nP^{-1}


cf. 21h09.

Je sais le faire

@carpediem : la démonstration de A^n a été faite à 20h56.

Posté par
carpediemre : Arithmétique 21-04-18 à 21:18

as-tu lu ce que j'ai écrit ?

l'expression "absolument pas " s'applique à "calcul de D^n"

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 21:23

Il y a donc eu un malentendu car le dernier message que j'ai posté était pour demander si ma démo de A^n était correcte et tu as répondu juste après "absolument pas" qui visiblement s'adressait pour 20h29

Et je me répète, j'ai déjà été obligé de démontrer D^n même si cela est trivial... c'est vrai !

Exercice clos

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 21:24

Bonne soirée et merci à vous deux d'avoir vérifié mes réponses

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 21:28

De rien pour moi Krayz, mais je me réserve le droit de faire plus tard un petit commentaire sur cet exercice (qui ne me plaît pas trop)  

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 21:29

Ah bon ? ça m'intéresse

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 21:56

Le concepteur de l'exercice a voulu couvrir le programme de spé: arithmétique et matrices en passant par les suites.

Je suppose qu'il est très content de lui, mais tout ceci est très artificiel.

  Deux remarques:

   1)  La partie arithmétique est indigente et je suis gentil. On attend plus, en principe, d'un candidat au BAC .

   2) La partie matrice est artificielle voire grotesque quand on a bien compris le début:

     x_n et y_n sont solutions du système:

       \begin{cases}x_n+y_n\sqrt{3}=a^n\\x_n-y_n\sqrt{3}=b^n\end{cases}

qui donne immédiatement:

   \begin{cases}x_n=\dfrac{a^n+b^n}{2}\\y_n=\dfrac{a^n-b^n}{2\sqrt{3}}\end{cases}

   les formules de 14h23 que tu dois obtenir laborieusement avec les matrices.

Bref, tout ça n'est pas très futé mais certainement conforme aux canons du BAC actuel

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 21:59

Le créateur du sujet est... mon professeur de maths

PS : J'ai compris tes deux remarques.

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 22:00

Aïe,

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 22:01

Mais c'est en effet vrai, le début de l'exercice nous donne x_n et y_n en fonction de n...

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 22:04

Admettons que je n'ai rien dit

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 22:06

Il ne nous donne jamais d'exercice copié/collé d'internet.
Il fait tout lui.

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 22:07

C'est tout à son honneur!

Posté par
Krayzre : Arithmétique 21-04-18 à 22:10

Bonne soirée, je te laisse sur cette fin d'exercice laborieuse

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 22:11

Bonne soirée à toi Krayz

Posté par
lakere : Arithmétique 21-04-18 à 22:35

Citation :
Il ne nous donne jamais d'exercice copié/collé d'internet.
Il fait tout lui.


Je suis réellement désolé.

J'ai vraiment loupé une occasion de me taire.

Posté par
carpediemre : Arithmétique 22-04-18 à 08:22

même si ton prof "a fait" le sujet,  c'est un classique de spé ... un classique de chez classique en est la suite de Fibonacci ...

pour un entier p non carré on considère la suite u_n = (a + b \sqrt p)^n = a_n + b_n \sqrt p et éventuellement sa suite "conjuguée" v_n = (a - b \sqrt p)^n = c_n + d_n \sqrt p où a et b sont deux entiers fixés (donc éventuellement divisé par un troisième entier c non nul pour la suite de Fibonacci)

on peut alors le traiter soit uniquement avec les suites et montrer des relations de pgcd et autre soit avec les matrices

on peut alors l'organiser en deux parties (mais comme je l'ai dit plus haut on n'avait pas l'énoncé complet et on ne savait pas où on allait !!!) pour proposer un bon exercice de révision en cette période de l'année ou montrer l'intérêt et la richesse de chaque outil mathématique utilisé

je suis d'accord avec lake : s'il est bien rédigé et organisé on peut accepter d'avoir tout en un et (re)trouver des résultats par différentes voies ... mal rédigé on se répète bêtement ...

Krayz @ 21-04-2018 à 22:06

Il ne nous donne jamais d'exercice copié/collé d'internet.
Il fait tout lui.
certes je fais beaucoup de copier-coller d'internet mais je réécris quasiment tout le temps les exo pour leur donner une cohérence et obtenir un vrai objectif pédagogique pour l'apprentissage de mes élèves ... et l'acquisition des notions ... c'est pourquoi je demandais un énoncé complet ou au moins par groupe de 4-5 questions pour en voir la cohérence et l'objectif
ou alors pour proposer un contexte qui ait du sens ... car c'est le malheur des mathématiques actuellement : tout contextualiser ... de façon totalement absurde parfois ... souvent ...

maintenant il faut être honnête : il fait tout lui-même ... ben mon œil !!

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